2.1 Konvergente Folgen

Übung 1

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine monoton steigende und beschränkte Folge in ℝ. Zeigen Sie die Konvergenzbedingung für x = sup { x_n | n  ∈  ℕ }.

Übung 2

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine linksstartende Pendelfolge mit inf_n (x_n + 1 − x_n) = 0. Zeigen Sie die Konvergenzbedingung für x = sup_n x_2n.

Übung 3

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ, und sei x  ∈  ℝ. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent zur Konvergenz der Folge gegen x sind:

(a)	∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ \|x_n − x\| ≤ ε,

(b)	∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ \|x_n − x\| < 2 ε,

(c)	∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ \|x_2n − x\| < ε,

(d)	∀ε > 0 ∃n₀ ∀n > n₀ \|x_n − x\| < ε,

(e)	∀ε > 0 ∀n₀ ∃n ≥ n₀ \|x_n − x\| < ε,

(f)	∀k ≥ 1 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ \|x_n − x\| < 1/k (mit k  ∈  ℕ).

Übung 4

(a)	Wir setzen x_2 n = 1 und x_2 n + 1 = 0 für alle n  ∈  ℕ. Zeigen Sie, dass die Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} divergiert.

(b)	Seien I = [ a, b ] und J = [ c, d ] reelle Intervalle mit a < b < c < d. Weiter sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ derart, dass die Mengen A = { n  ∈  ℕ \| x_n  ∈  I } und B = { n  ∈  ℕ \| x_n  ∈  J } unendlich sind. Zeigen Sie, dass (x_n)_{n  ∈  ℕ} divergiert.

Übung 5

Seien (x_n)_{n  ∈  ℕ} und (y_n)_{n  ∈  ℕ} Folgen in ℝ mit der Eigenschaft:

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ |x_n − y_n| < ε.

Zeigen Sie: Konvergiert eine der beiden Folgen, so konvergiert auch die andere, und dann gilt lim_n x_n = lim_n y_n.

Übung 6

Seien (y_n)_{n  ∈  ℕ} und (z_n)_{n  ∈  ℕ} konvergente Folgen in ℝ mit lim_n y_n = lim_n z_n. Weiter sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ derart, dass jedes x_n zwischen y_n und z_n liegt. Zeigen Sie, dass lim_n x_n = lim_n y_n.

Übung 7

Seien (x_n)_{n  ∈  ℕ}, (y_n)_{n  ∈  ℕ} konvergente Folgen in ℝ, und seien x = lim_n x_n und y = lim_n y_n. Zeigen oder widerlegen Sie:

(a)	Gilt x_n ≤ y_n für alle n, so gilt x ≤ y.

(b)	Gilt x_n < y_n für alle n, so gilt x < y.

Übung 8

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie im Fall der Konvergenz ihre Grenzwerte:

(a)	x_n = (1 + (−1)ⁿ)/n,

(b)	x_n = (−1)ⁿ (1 − 1/n),

(c)	x_n = (c + 1/n)², mit einem festen c  ∈  ℝ,

(d)	x_n = n²/(n² + 1),

(e)	x_n = (n + 1)² − n²,

(f)	x_n = $\sqrt{n + 1}$ − $\sqrt{n}$ ,

(g)	x_n = $\sqrt{n}$ / $\sqrt{n + 1}$ .

Übung 9

Wir definieren rekursiv

x₀ = 1, x_n + 1 = 1 + 1/x_n für alle n  ∈  ℕ.

(a)	Berechnen Sie x₀, …, x₆ in Form von Brüchen und zudem auf vier Nachkommastellen gerundeten Dezimalzahlen. Beschreiben Sie (ohne Beweis) die Folge der Brüche im Sinne eines anschaulichen Bildungsgesetzes.

(b)	Zeigen Sie, dass die Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine linksstartende injektive Pendelfolge ist.

(c)

Nach (b) existieren s = sup_n x_2n = lim_n x_2n, t = inf_n x_2n + 1 = lim_n x_2n + 1. Zeigen Sie, dass s und t Lösungen der Gleichung

x² − x − 1 = 0

sind. Folgern Sie, dass s = t = lim_n x_n und berechnen Sie den Grenzwert. Geben Sie den Grenzwert auch wieder als auf vier Nachkommastellen gerundete Dezimalzahl an.

Übung 10

Sei a > 0, und sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} die Heron-Folge für a, d. h. es gilt

x₀ = a, x_n + 1 = ^{x_n + a/x_n}₂ für alle n  ∈  ℕ.(Heron-Verfahren)

(a)	Berechnen Sie x₁, …, x₄ für a = 3 in Form von Brüchen und zudem auf acht Nachkommastellen gerundeten Dezimalzahlen.

(b)

Zeigen Sie:

(i)	Ist a = 1, so ist x_n = 1 für alle n  ∈  ℕ.

(ii)	Ist a > 1, so ist (x_n)_{n  ∈  ℕ} streng monoton fallend und x_n² > a für alle n  ∈  ℕ.

(iii)

Ist a < 1, so ist x₁ > x₀, (x_n)_n ≥ 1 streng monoton fallend und x_n² > a für alle n ≥ 1.

Übung 11

Seien a, b reelle Zahlen mit a < b. Wir setzen x₀ = a, x₁ = b und definieren rekursiv x_n + 2 = (x_n + x_n + 1)/2 für alle n  ∈  ℕ. Zeigen Sie:

(a)	(x_n)_{n  ∈  ℕ} ist eine linksstartende Pendelfolge.

(b)	(x_n)_{n  ∈  ℕ} konvergiert.

Übung 12

Sei k  ∈  ℕ. Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung:

(a)	Für alle x > 1 gilt lim_n xⁿ/n^k = ∞.

(b)	Für alle x  ∈  [ 0, 1 [ gilt lim_n n^k xⁿ = 0.

[ zu (a): Sei x = 1 + δ mit δ > 0. Weiter sei k′ = k + 1. Sei m maximal mit k′m ≤ n, und es sei m′ = m + 1, sodass n < k′ m′. Dann gilt

xⁿ = (1 + δ)ⁿ ≥ ((1 + δ)^m)^k′ ≥_Bernoulli (1 + m δ)^k′ ≥ m^k′ δ^k′ = m m^k δ^k′, sodass

^xⁿ_n^k > ^xⁿ_{(k′ m′)^k} ≥ m ^{m^k δ^k′}_{(k′ m′)^k} = m (m/m′)^k c mit c = δ^k′/k′^k. ]

Übung 13

Sei m  ∈  ℕ*. Zeigen Sie, dass lim_n (^m $\sqrt{n}$ )⁻¹ = 0.

Übung 14

Sei x > 0. Zeigen Sie, dass lim_n ⁿ $\sqrt{x}$ = 1.

Übung 15

Zeigen oder widerlegen Sie: Ist (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge positiver Zahlen mit lim_n x_n = 0, so gilt lim_n ⁿ $\sqrt{x_{n}}$ = 1.

Übung 16

(a)	Berechnen Sie den unendlichen Kettenbruch [ 1, 2, 1, 2, 1, 2, … ].

(b)	Bestimmen Sie die Zahlen n_k mit $\sqrt{3}$ = [ n₀, n₁, n₂, … ].

Übung 17

Seien n₀, …, n_k  ∈  ℕ*. Zeigen Sie, dass für alle n, m  ∈  ℕ* mit n < m gilt:

[ n₀, …, n_k, n ] > [ n₀, …, n_k, m ], falls k gerade,

[ n₀, …, n_k, n ] < [ n₀, …, n_k, m ], falls k ungerade.

Übung 18

Seien n₀, …, n_k  ∈  ℕ*. Zeigen Sie, dass lim_n [ n₀, …, n_k, n ] = [ n₀, …, n_k ].

Übung 19

Zeigen Sie, dass [ n₀, …, n_k, 1 ] = [ n₀, …, n_k + 1 ] für alle n₀, …, n_k  ∈  ℕ* gilt und dass davon abgesehen die Darstellung einer rationalen Zahl als endlicher Kettenbruch eindeutig ist.

Übung 20

Zeigen Sie, dass für alle (n_k)_{k  ∈  ℕ} in ℕ* gilt:

(a)	[ n₀ ] < [ n₀, n₁, n₂ ] < … < … < [ n₀, n₁, n₂, n₃ ] < [ n₀, n₁ ].

(b)	Es gibt kein r  ∈  ℚ mit: [ n₀, …, n_k ] ≤ r ≤ [ n₀, …, n_2k + 1 ] für alle k.

(c)	lim_k [ n₀, …, n_k ] existiert und ist irrational.

[ zu (a): Induktion nach k für alle Kettenbrüche der Länge k. zu (b): Wir nehmen an, es gäbe ein solches r = [ m₀, …, m_j ] und betrachten das kleinste i mit n_i ≠ m_j. ]

Übung 21

Sei (z_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℂ, und sei z  ∈  ℂ. Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	lim_n z_n = z.

(b)	lim_n Re(z_n) = Re(z) und lim_n Im(z_n) = Im(z).