2.2 Häufungspunkte von Folgen und Mengen

Übung 1

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine konvergente Folge in ℝ, und sei x = lim_n x_n. Weiter sei (y_n)_{n  ∈  ℕ} eine Teilfolge von (x_n)_{n  ∈  ℕ}. Zeigen Sie, dass lim_n y_n = x.

Übung 2

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ, und sei (y_n)_{n  ∈  ℕ} eine Teilfolge von (x_n)_{n  ∈  ℕ}. Weiter sei (z_n)_{n  ∈  ℕ} eine Teilfolge von (y_n)_{n  ∈  ℕ}. Zeigen Sie, dass (z_n)_{n  ∈  ℕ} eine Teilfolge von (x_n)_{n  ∈  ℕ} ist.

Übung 3

Sei (q_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge mit

{ q_n | n  ∈  ℕ } = [ 0, 1 ] ∩ ℚ.

Zeigen Sie: Jedes x  ∈  [ 0, 1 ] ist ein Häufungspunkt von (q_n)_{n  ∈  ℕ}.

Übung 4

Sei E ⊆ ℝ endlich. Zeigen Sie, dass es eine Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} in ℝ gibt mit

{ x  ∈  ℝ | x ist ein Häufungspunkt von (x_n)_{n  ∈  ℕ} } = E.

Übung 5

Zeigen oder widerlegen Sie: Es gibt eine Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ}, die genau die Zahlen 1/n, n ≥ 1, als Häufungspunkte besitzt.

Übung 6

Seien (x_n)_{n  ∈  ℕ} und (y_n)_{n  ∈  ℕ} Folgen in ℝ. Für alle n sei y_n ein Häufungspunkt von (x_n)_{n  ∈  ℕ}. Zeigen Sie:

Jeder Häufungspunkt von (y_n)_{n  ∈  ℕ} ist ein Häufungspunkt von (x_n)_{n  ∈  ℕ}.

Übung 7

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine beschränkte Folge in ℝ. Zeigen Sie mit den beiden folgenden Argumentationen, dass die Folge einen größten und einen kleinsten Häufungspunkt besitzt:

(a)	Durch Verwendung von „Häufungspunkte von Häufungspunkten sind Häufungspunkte“ (vgl. die Übung oben).

(b)	Durch Analyse bzw. Anpassung des Beweises des Satzes von Bolzano-Weierstraß mit Hilfe von Intervallschachtelung.

Übung 8

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine beschränkte Folge in ℝ, und sei x  ∈  ℝ. Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	lim_n x_n = x.

(b)	x ist der einzige Häufungspunkt von (x_n)_{n  ∈  ℕ}.

Lässt sich hieraus folgern, dass jede divergente Folge in ℝ entweder keinen oder mindestens zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt? Gilt die Äquivalenz ohne die Voraussetzung der Beschränktheit?

Übung 9

Zeigen Sie:

(a)	Sei x ein Häufungspunkt von P. Dann existiert eine injektive Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} in P, die x als Häufungspunkt besitzt.

(b)	Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} injektiv, und sei x ein Häufungspunkt von (x_n)_{n  ∈  ℕ}. Dann ist x ein Häufungspunkt von { x_n \| n  ∈  ℕ }.

Übung 10

Beweisen Sie den Satz von Bolzano-Weierstraß für beschränkte Folgen (z_n)_{n  ∈  ℕ} in ℂ mit den beiden folgenden Methoden:

(a)	Iterierte Viertelung des Quadrats Q₀ = [ −r, r ] × [ −r, r ] ⊆ ℂ, wobei { z_n \| n  ∈  ℕ } ⊆ Q₀.

(b)	Übergang zu Real- und Imaginärteil und Verwendung des Satzes von Bolzano-Weierstraß für reelle Folgen.