2.4 Unendliche Reihen

Übung 1

Zeigen Sie, dass

∑_n ≥ 1 ¹_{n (n + 1) (n + 2)} = ¹₄.

[ Stellen Sie 1/(n (n + 1) (n + 2)) in der Form a/n + b/(n + 1) + c/(n + 2) für geeignete a, b, c  ∈  ℚ dar und berechnen Sie damit die Partialsummen der Reihe. ]

Übung 2

Sei x  ∈  ] −1, 1 [. Zeigen Sie:

∑_n n xⁿ = ^x_{(1 − x)²}.

Dabei dürfen Sie lim_n n xⁿ = 0 verwenden (vgl. die Übungen in 2.1).

Übung 3

Zeigen Sie:

(a)	∑_n x^(2n + 1) = ^x_1 − x² für alle x  ∈  ] −1, 1 [.

(b)	∑_n ≥ 1 ¹_{(2n − 1)²} = ³₄ ∑_n ≥ 1 ¹_n². (Dabei dürfen Sie die Konvergenz von ∑_n ≥ 1 1/n² voraussetzen.)

Übung 4

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge reeller Zahlen. Weiter seien c > 0 und q  ∈  ] 0, 1 ] derart, dass

|x_n + 1 − x_n| ≤ c qⁿ für alle n  ∈  ℕ.

Zeigen Sie, dass die Reihe ∑_n x_n konvergiert.

Übung 5

Seien a₁ < a₂ < … < a_n < … die natürlichen Zahlen größergleich 1, in deren Dezimaldarstellung keine Ziffer 9 vorkommt. Zeigen Sie, dass die Reihe ∑_n ≥ 1 1/a_n konvergiert.

[ Zählen Sie die Summanden der Reihe, die sich in den Intervallen [ 1, 10 [, [ 10, 100 [, [ 100, 1000 [, … befinden. Benutzen Sie die geometrische Reihe zur Abschätzung. ]

Übung 6

Sei ∑_n x_n eine konvergente Reihe in ℝ. Zeigen Sie:

∑_n x_n = (x₀ + x₁) + (x₂ + x₃) + … (Blockbildung der Länge 2)

(Formal setzen wir y_n = x_2n + x_2n + 1 für alle n  ∈  ℕ. Zu zeigen ist nun, dass ∑_n x_n = ∑_n y_n.)

Übung 7

Seien ∑_n x_n, ∑_n y_n Reihen in ℝ mit den Partialsummen s_n = ∑_k ≤ n x_k und t_n = ∑_k ≤ n y_k für alle n. Die Reihe ∑_n x_n sei konvergent und es gelte

lim_n (s_n − t_n) = 0.

Zeigen Sie: ∑_n y_n konvergiert und es gilt ∑_n y_n = ∑_n x_n.

Übung 8

Sei ∑_n x_n eine konvergente Reihe in ℝ. Weiter sei n₀  ∈  ℕ. Zeigen Sie:

(a)	∑_n x_n = x₀ + … + x_n₀ + ∑_n > n₀ x_n.

(b)	Für alle ε > 0 existiert ein n₀ mit \|∑_n > n₀ x_n\| < ε.

Übung 9

(a)	Sei ∑_n x_n eine konvergente Reihe in ℝ. Wir setzen y_n = (x_n + x_n + 1)/2 für alle n. Zeigen Sie, dass ∑_n x_n = x₀/2 + ∑_n y_n.

(b)	Wenden Sie die Methode aus (a) auf die alternierende harmonische Reihe ∑_n ≥ 1 (−1)^n − 1/n an und zeigen Sie dadurch: 2 ∑_n ≥ 1 ^{(−1)^n − 1}_n = 1 + ∑_n ≥ 1 ^{(−1)^n − 1}_n(n + 1). Dabei dürfen Sie die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe voraussetzen.

(c)	Zeigen Sie durch eine ähnliche Zusammenfassung von Folgengliedern, dass ∑_n ≥ 1 ^{(−1)^n − 1}_n = ∑_n ≥ 1 ¹_{(2n − 1)(2n)}.

Übung 10

Sei ∑_n x_n eine gegen x konvergente Reihe in ℝ mit

(a)	x₀ ≥ x₁ ≥ … ≥ x_n ≥ … ≥ 0,

(b)	x_k ≤ ∑_n > k x_n für alle k.

Zeigen Sie, dass für alle y  ∈  ] 0, x ] eine streng monoton steigende Folge (i_n)_{n  ∈  ℕ} natürlicher Zahlen existiert mit ∑_n x_{i_n} = y.

Übung 11

Seien x₀, x₁ reelle Zahlen mit x₀ < x₁. Wir definieren rekursiv

x_n + 2 = (x_n + x_n + 1)/2 für alle n  ∈  ℕ.

(a)	Berechnen Sie (in Form von Brüchen und gerundeten Dezimalzahlen) die Folgenglieder x₀, …, x₆ für die Startwerte x₀ = 0 und x₁ = 1.

(b)	Zeigen Sie, dass (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine linksstartende Pendelfolge mit strikten Ungleichungen ist.

(c)	Sei δ = x₁ − x₀. Zeigen Sie: x_n = x₀ + δ ∑_k < n (− 1/2)^k für alle n ≥ 1 (mit Summen ab 0).

(d)	Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} in Abhängigkeit von x₀ und x₁ mit Hilfe von (c). Welcher Grenzwert ergibt sich für den Spezialfall x₀ = 0 und x₁ = 1 ?