2.6 Umordnungen und Produkte

Übung 1

Seien ∑_n x_n eine konvergente Reihe in ℝ und (i_n)_{n  ∈  ℕ} eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit i₀ = 0. Für alle n  ∈  ℕ sei

y_n = ∑_{i_n ≤ i < i_n + 1} x_i.(endliche Blockbildung)

Zeigen Sie, dass ∑_n x_n = ∑_n y_n.

Übung 2

Sei ∑_n x_n eine unendliche Reihe in ℝ. Wir definieren die Reihe ∑_n y_n durch

y_2n = x_2n + 1, y_2n + 1 = x_2n für alle n  ∈  ℕ.

Zeigen Sie, dass die Reihen ∑_n x_n und ∑_n y_n das gleiche Konvergenzverhalten und im Fall der Konvergenz den gleichen Wert besitzen.

Übung 3

Zeigen Sie:

(a)	1 − 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/6 − 1/8 + … = 1/2 ∑_n ≥ 1 (−1)^n − 1/n, wobei in der linken Reihe immer zwei negative Summanden mit geraden Nennern auf einen positiven Summanden mit einem ungeraden Nenner folgen (mit 1 = 1/1).

(b)	1 − 1/2 + 1/3 + 1/5 − 1/4 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 − 1/6 + … = ∞, wobei in der Reihe 1, 2, 4, 8, 16, … positive Summanden mit ungeraden Nennern durch einen negativen Summanden mit einem geraden Nenner getrennt werden (mit 1 = 1/1).

Übung 4

Sei ∑_n x_n eine bedingt konvergente Reihe in ℝ. Weiter sei s  ∈  ℝ. Zeigen Sie, dass eine Umordnung ∑_n x_g(n) von ∑_n x_n existiert mit

s = ∑_n x_g(n).

Zeigen Sie weiter, dass jeweils eine Umordnung der Reihe existiert, die (a) uneigentlich gegen ∞ konvergiert, (b) uneigentlich gegen − ∞ konvergiert, (c) divergiert und dabei nicht uneigentlich konvergiert.

[ Hinweis: Erzeugen Sie die Summe s, indem Sie abwechselnd positive und negative Glieder immer solange addieren, bis s über- bzw. unterschritten wird. ]

Übung 5

Zeigen Sie mit Hilfe eines Reihenproduktes, dass für alle x  ∈  ] −1, 1 [ gilt:

(a)	∑_n (n + 1) xⁿ = ¹_{(1 − x)²},

(b)	∑_n n xⁿ = ^x_{(1 − x)²}.

Übung 6

Sei (x_n)_n ∈ ℕ die Folge mit

x_n = $\frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n + 1}}$ für alle n.

Zeigen Sie:

(a)	∑_n x_n konvergiert.

(b)	Das Cauchy-Produkt von ∑_n x_n und ∑_n x_n divergiert.

Übung 7

Seien (x_n)_n ∈ ℕ und (y_n)_n ∈ ℕ konvergente Reihen, und eine der beiden Reihen sei absolut konvergent. Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen konvergiert.

Übung 8

Sei ∑_n x_n die alternierende harmonische Reihe, d. h. es gilt x_n = (−1)^n − 1/n für alle n ≥ 1. Weiter sei ∑_n ≥ 1 d_n das Cauchy-Produkt von (x_n)_{n  ∈  ℕ} mit sich selbst, d. h. es gilt

d_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n} x_k x_{n − k + 1} für alle n ≥ 1.

(a)	Zeigen Sie, dass für alle n ≥ 1 gilt: d_n = 2 ^{(−1)^n − 1}_n + 1 h_n, wobei h_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n} ¹_k.

(b)	Zeigen Sie, dass ∑_n ≥ 1 d_n konvergiert.

[ Zeigen Sie für (b), dass (|d_n|)_n ≥ 1 monoton fällt. Aus der elementaren Abschätzung h_2ⁿ ≤ n + 1 für alle n ≥ 1 ergibt sich, dass diese Folge eine Nullfolge ist.]