3.1 Die Limesstetigkeit
Übung 1
(a) | Seien f, g : P → ℝ stetig. Zeigen Sie, dass die Funktionen − f, f + g und f · g stetig sind. |
(b) | Sei f : P → ℝ stetig. Zeigen Sie, dass |f| : P → ℝ stetig ist, wobei |f|(x) = |f (x)| für alle x ∈ P. |
Übung 2
Zeigen oder widerlegen Sie, dass für alle f, g : P → ℝ und p ∈ P gilt:
(a) | Ist |f| stetig in p, so ist f stetig in p. |
(b) | Ist f · g stetig in p, so sind f und g stetig in p. |
(c) | Ist f : P → P und f ∘ f stetig in p, so ist f stetig in p. |
Übung 3
Seien f : P → Q und g : Q → ℝ mit P, Q ⊆ ℝ, und sei h = g ∘ f. Weiter sei p ∈ P. Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) | Ist f unstetig in p und g : Q → ℝ stetig in f (p), so ist h unstetig in p. |
(b) | Ist f stetig in p und g : Q → ℝ unstetig in f (p), so ist h unstetig in p. |
(c) | Ist f unstetig in p und g : Q → ℝ unstetig in f (p), so ist h unstetig in p. |
Übung 4
Seien f, g : ℝ → ℝ. Die Funktion g sei stetig und es gelte
|f (x) − f (y)| ≤ |g(x) − g(y)| für alle x, y ∈ ℝ.
Zeigen Sie, dass f stetig ist.
Übung 5
Ein D ⊆ ℝ heißt dicht, falls es für alle a < b in ℝ ein d ∈ D gibt mit a < d < b.
(a) | Geben Sie Beispiele für Mengen D ⊆ ℝ an mit der Eigenschaft: Die Mengen D und ℝ − D sind dicht. |
(b) | Sei nun D ⊆ ℝ derart, dass D und ℝ − D dicht sind. Weiter sei 1D : ℝ → ℝ die Indikatorfunktion von D, d. h., es gilt 1D(x) = 1, falls x ∈ D und 1D(x) = 0, falls x ∉ D. Zeigen Sie, dass die Funktion 1D in jedem Punkt p ∈ ℝ unstetig ist. |
Übung 6
Geben Sie Funktionen fn : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] an mit den Eigenschaften:
(a) | fn ist stetig für alle n ∈ ℕ. |
(b) | f (x) = limn fn(x) existiert für alle x ∈ [ 0, 1 ]. |
(c) | Die durch (b) definierte Funktion f auf [ 0, 1 ] ist nicht stetig. |
Übung 7
(a) | Geben Sie eine stetige Funktion f : ] 0, 1 ] → ℝ an derart, dass für alle s ∈ ℝ eine Nullfolge (xn)n ∈ ℕ existiert mit s = limn f (xn). |
(b) | Geben Sie eine Funktion f : [ 0, 1 ] → ℝ an, die im Punkt 0 stetig und in allen Punkten p ∈ ] 0, 1 ] unstetig ist. |
Übung 8
Sei f : ℝ → ℝ eine im Nullpunkt stetige Funktion mit der Eigenschaft:
(+) f(x + y) = f (x) f (y) für alle x, y ∈ ℝ.
Zeigen Sie:
(a) | f (0) ∈ { 0, 1 }. |
(b) | Ist f (0) = 0, so ist f (x) = 0 für alle x ∈ ℝ. |
(c) | Ist f (0) = 1, so ist f (−x) = f (x)−1 und f (x) > 0 für alle x ∈ ℝ. |
(d) | Ist f (0) = 1, so gilt mit a = f (1), dass f (q) = aq für alle q ∈ ℚ. |
(e) | f ist stetig. |
(f) | Sei g : ℝ → ℝ eine im Nullpunkt stetige Funktion mit g(x + y) = g(x) g(y) für alle x, y ∈ ℝ. Zudem gelte f (1) = g(1). Dann gilt f = g. |
Übung 9
Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion mit
f(x + y) = f (x) + f (y) für alle x, y ∈ ℝ.
Zeigen Sie:
(a) | f ist ungerade, d. h., es gilt f (−x) = − f (x) für alle x ∈ ℝ. |
(b) | Ist f stetig im Punkt 0, so ist f stetig. |
Übung 10
Sei f : [ 0, 1 ] ∪ [ 2, 3 ] → ℝ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass sich f stetig nach ℝ fortsetzen lässt.
Übung 11
Sei f : P → ℝ streng monoton steigend. Für alle p ∈ ℝ setzen wir:
ap = sup({ f (x) | x < p }), bp = inf({ f (y) | p < y }).
Seien p, q ∈ ℝ. Zeigen Sie:
(a) | ap ≤ f (p) ≤ bp |
(b) | p < q impliziert bp < aq |
(c) | ap = bp impliziert f ist stetig an der Stelle p |
(d) | f ist stetig an der Stelle p impliziert ap = bp |
Folgern Sie, dass A = { p ∈ P | f ist unstetig an der Stelle p } abzählbar ist.
Übung 12
Sei a ∈ ℝ irrational, und sei f : ℚ → ℝ die Funktion mit f (q) = 0 für q < a und f (q) = 1 für q > a. Zeigen Sie, dass f stetig ist.
Übung 13
Geben Sie ein f : ℝ → ℝ an derart, dass f in allen Punkten unstetig ist, dagegen aber |f| stetig ist.
[ Unterscheiden Sie „x ist rational“ und „x ist irrational“ zur Definition. ]
Übung 14
Geben Sie eine Funktion f : ℝ → ℝ an, die im Nullpunkt stetig, in allen anderen Punkten aber unstetig ist.
[ Unterscheiden Sie wieder „x ist rational“ und „x ist irrational“ zur Definition. ]
Übung 15
Sei f : ℝ → ℝ, und sei p ∈ ℝ. Zeigen oder widerlegen Sie:
Gilt limx → 0 (f (p + x) − f (p − x)) = 0, so ist f stetig im Punkt 0.
Übung 16
Wir definieren f : ℝ → ℝ wie folgt. Für x ∉ ℚ sei f (x) = 0. Für x ∈ ℚ sei
f (x) = n wobei x = m/n mit m ∈ ℤ, n ∈ ℕ*, gekürzt.
Zeigen Sie, dass für alle p ∈ ℝ die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | f ist stetig in p. |
(b) | p ist irrational. |
Übung 17
Sei f : P → ℝ eine Funktion und sei p ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | limx → p f (x) existiert. |
(b) | limx → 0 f(p + x) existiert. |
Zeigen Sie weiter, dass in diesem Fall die Grenzwerte in (a) und (b) übereinstimmen.
Übung 18
Wir setzen im Folgenden voraus, dass der Leser mit dem Begriff „Basis eines Vektorraumes“ vertraut ist. Sei V der ℚ-Vektorraum ℝ, d. h., die Menge der Vektoren ist ℝ, aber als Skalare werden nur rationale Zahlen betrachtet. Nach einem Satz der Vektorraumtheorie existiert eine Basis B von V. Konstruieren Sie mit Hilfe von B eine Funktion f : ℝ → ℝ mit den Eigenschaften:
(a) | f(x + y) = f (x) + f (y) für alle x, y ∈ ℝ, |
(b) | f ist nicht stetig. |
[ Betrachten Sie zur Definition von f (x) die Koeffizienten der eindeutigen Darstellung
x = q1 x1 + … + qk xk, qi ∈ ℚ, xi ∈ B.
Damit lässt sich sogar ein f : ℝ → ℚ mit den gewünschten Eigenschaften konstruieren. ]