4.1 Differentialquotienten

Übung 1

Seien (x₁, y₁), (x₂, y₂)  ∈  ℝ² mit x₁ ≠ x₂. Wir definieren g : ℝ → ℝ durch

g(x) = ^y₂_{x₂ − x₁} (x − x₁) + ^y₁_{x₁ − x₂} (x − x₂) für alle x  ∈  ℝ. (Zweipunktdarstellung einer Geraden oder Lagrangesche Form)

Zeigen Sie, dass g die Gerade durch (x₁, y₁) und (x₂, y₂) ist. Interpretieren und visualisieren Sie g als Summe zweier Geraden.

Übung 2

Zeigen Sie, dass eine Funktion f : P → ℝ in p  ∈  P genau dann differenzierbar ist, wenn die Funktion g = f − c in p differenzierbar ist, mit einer beliebigen Konstante c. Was bedeutet dies anschaulich?

Übung 3

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P ein Häufungspunkt von P. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	f ist differenzierbar in p.

(b)	Es gibt eine in p stetige Funktion s : P → ℝ mit f (x) = f (p) + s(x) (x − p) für alle x  ∈  P.

Zeigen Sie weiter, dass in diesem Fall s(p) = f ′(p) gilt.

Übung 4

Folgern Sie aus dem linearen Approximationssatz II, dass jedes reelle Polynom f : ℝ → ℝ differenzierbar ist.

Übung 5

Sei f : ℝ → ℝ eine gerade Funktion, d. h., es gilt f (−x) = f (x) für alle x  ∈  ℝ. Zeigen Sie: Ist f differenzierbar im Nullpunkt, so gilt f ′(0) = 0.

Übung 6

Sei f : P → ℝ differenzierbar in p  ∈  P. Sei a < f ′(p), und g sei die Gerade durch (p, f (p)) der Steigung a. Zeigen Sie, dass ein ε > 0 existiert mit:

f < g auf ] p − ε, p [ ∩ P,

g < f auf ] p, p + ε [ ∩ P.

Übung 7

Sei f : P → ℝ differenzierbar in p  ∈  P. Für alle ε > 0 gebe es x, y in ] p, p + ε [ mit x, y  ∈  P und f (x) ≤ f (p) ≤ f (y). Zeigen Sie, dass f ′(p) = 0.

Übung 8

(a)	Sei I ein offenes Intervall, und sei f : I → ℝ differenzierbar an einer Stelle p  ∈  I. Zeigen Sie: f ′(p) = lim_h → 0 ^{f (p + h) − f (p − h)}_2h.

(b)	Zeigen Sie, dass der Limes in (a) für die Betragsfunktion abs : ℝ → ℝ und die Stelle p = 0 existiert.

(c)	Geben Sie eine stetige Funktion f : ℝ → ℝ an derart, dass der Limes in (a) für p = 0 nicht existiert (mit Nachweis).

Bemerkung

Dies zeigt, dass die symmetrisch differenzierbaren Funktionen auf ℝ eine echte Obermenge der differenzierbaren Funktionen auf ℝ und weiter eine echte Teilmenge der stetigen Funktionen auf ℝ sind.

Übung 9

Geben Sie eine Funktion f : ℝ → ℝ an, sodass für alle p  ∈  ℝ gilt:

(a)	Es gibt eine Nullfolge (h_n)_{n  ∈  ℕ} mit lim_n\| ^{f (p + h_n) − f (p)}_{h_n} \| = ∞.

(b)	Es gibt eine Nullfolge (k_n)_{n  ∈  ℕ} mit lim_n ^{f (p + k_n) − f (p)}_{k_n} = 0.

Verstärkung: Geben Sie eine stetige Funktion f : ℝ → ℝ mit diesen Eigenschaften an.

Übung 10

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch

$f (x) = { \begin{matrix} x & falls x rational, \\ x + x^{2} & sonst. \end{matrix}$

Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt differenzierbar ist mit f ′(0) = 1 und dass f in allen anderen Punkten nicht differenzierbar ist.

Übung 11

Sei f : ℝ → ℝ die Indikatorfunktion von ℚ auf ℝ, sodass

f (x) = 1 für alle x  ∈  ℚ, f (x) = 0 für alle x  ∈  ℝ − ℚ.

Zeigen Sie:

(a)	f ist an keiner Stelle p  ∈  ℝ differenzierbar.

(b)	Ist p rational, so ist f an der Stelle p symmetrisch differenzierbar.

(c)	Ist p irrational, so ist f an der Stelle p nicht symmetrisch differenzierbar.

Übung 12

Sei f : P → ℝ eine Funktion, und sei p  ∈  P ein Häufungspunkt von P.

Für alle x  ∈  P − { p } sei f_{p, x} die durch p und x definierte Sekante von f, also die Gerade durch (p, f (p)) und (x, f (x)). Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	f ist differenzierbar in p.

(b)	Für alle gegen p konvergenten Folgen (x_n)_{n  ∈  ℕ} in P konvergiert die Funktionenfolge (f_{p, x_n})_{n  ∈  ℕ} in mindestens einem x ≠ p.

Zeigen Sie weiter: Gilt (b), so ist der Grenzwert von (f_{p, x_n})_{n  ∈  ℕ} die Tangente an f im Punkt (p, f (p)).