Der Satz von Gauß

Eine starke Verallgemeinerung, mit der man Zahlen wie $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ als irrational erkennen kann, liefert ein Satz von Carl Friedrich Gauß. Zur Motivation betrachten wir 10 = 2 · 5. Dann gilt 10^k = 2^k · 5^k für alle k ≥ 1. Ebenso ist 18 = 2 · 3² und 18^k = 2^k · 3^2 k für alle k ≥ 1. In den Potenzen einer Zahl tauchen also keine neuen Primfaktoren auf, das Potenzieren vervielfacht lediglich die alten Primfaktoren:

Satz (Primfaktoren von Potenzen)

Für alle n ≥ 2 und k ≥ 1 gilt: n und n^k haben dieselben Primfaktoren.

Mit diesem zahlentheoretischen Ergebnis können wir nun beweisen:

Satz (Satz von Gauß)

Seien a₀, …, a_k − 1 ganze Zahlen, und sei x eine reelle Zahl mit

x^k + a_k − 1 x^k − 1 + … + a₁ x¹ + a₀ = 0.

Dann ist x eine ganze Zahl oder irrational.

Beweis

Wir nehmen an, dass x = n/m eine rationale Zahl ist, und dass der Bruch n/m gekürzt ist. Wir zeigen unter dieser Annahme, dass m = 1 gilt. Damit ist der Satz bewiesen.

Setzen wir x = n/m in die Gleichung des Satzes ein, so erhalten wir

^{n^k}_m^k + ^{a_k − 1 n^k − 1}_m^k − 1 + … + ^a₁ n_m + a₀ = 0.

Die Multiplikation mit m^k ergibt

n^k + a_k − 1 n^k − 1 m¹ + … + a₁ n¹ m^k − 1 + a₀ m^k = 0,

n^k = − m (a_k − 1 n^k − 1 + … + a₀ m^k − 1).

Folglich ist m ein Teiler von n^k. Wäre nun p ≥ 2 ein Primfaktor von m, so wäre p also ein Primfaktor von n^k. Nach unserer Vorüberlegung wäre dann aber p auch ein Primfaktor von n, und dann wäre n/m nicht gekürzt. Also besitzt m keinen Primfaktor p ≥ 2, und damit ist m = 1 und x = n/m = n eine ganze Zahl.

Wichtig für die Gültigkeit des Satzes ist, dass der Koeffizient bei der höchsten Potenz x^k (der sog. Leitkoeffizient) gleich 1 ist. So hat ja zum Beispiel die Gleichung 2 x − 1 = 0 die rationale Lösung 1/2. Im Beweis führt die 1 bei der Potenz x^k dazu, dass wir n^k als Produkt darstellen können.

Beispiele

(a)

Die Gleichungen x² − 2 = 0 und x² − 3 = 0 sind wie im Satz von Gauß, und sie besitzen offenbar keine ganzzahligen Lösungen. Also folgt aus dem Satz, dass die Quadratwurzeln aus 2 und 3 irrational sind. Allgemeiner zeigt die Gleichung x² − n = 0, dass die Wurzel einer natürlichen Zahl n irrational ist, falls n keine Quadratzahl ist.

(b)	Für a = $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ gilt a² = 5 + 2 $\sqrt{6}$ und a⁴ = 49 + 20 $\sqrt{6}$ . Damit ist a⁴ − 10 a² = −1 und somit a eine Lösung von x⁴ − 10 x² + 1 = 0. Diese Gleichung ist wie im Satz von Gauß, und die Zahl 3 ist keine Lösung. Wegen 2 < a < 4 ist also a irrational.