Ausblick: $\sqrt{2}$ hoch $\sqrt{2}$

Die Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 liefert ein instruktives Beispiel dafür, was man in der Mathematik unter einem nichtkonstruktiven Existenzbeweis versteht. Wir zeigen:

Satz (Existenz rationaler Potenzierungen)

Es gibt irrationale Zahlen a und b derart, dass a^b rational ist.

Beweis

Wir unterscheiden zwei Fälle.

1. Fall: $\sqrt{2}$ ^$\sqrt{2}$ ist rational.

In diesem Fall ist a = b = $\sqrt{2}$ wie gewünscht.

2. Fall: $\sqrt{2}$ ^$\sqrt{2}$ ist irrational.

In diesem Fall ist a = $\sqrt{2}$ ^$\sqrt{2}$ und b = $\sqrt{2}$ wie gewünscht, denn

a^b = ( $\sqrt{2}$ ^$\sqrt{2}$)^$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ ^{$\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$} = $\sqrt{2}$ ² = 2

ist rational.

Der Beweis ist nichtkonstruktiv in dem Sinne, dass er kein Beispiel für irrationale Zahlen a und b liefert, für die a^b rational ist. Es bleibt offen, ob die verwendete Zahl $\sqrt{2}$ ^$\sqrt{2}$ irrational ist oder nicht. Konstruktive Beweise liefern dagegen konkrete Beispiele oder konkrete allgemeine Verfahren, mit denen man bestimmte Objekte bestimmen kann, zum Beispiel die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n oder den Rest von n bei Division durch 5. Manchmal zeigt ein Argument dagegen nur die nackte Existenz, und man muss dann weiter forschen, um Genaueres herauszufinden. Eine Antwort auf die Frage der Irrationalität der Potenz von $\sqrt{2}$ mit sich selbst gibt zum Beispiel der folgende tiefliegende Satz über transzendente Zahlen:

Satz (Satz von Gelfond-Schneider)

Sei a > 0 algebraisch und ungleich 1. Weiter sei b algebraisch und irrational. Dann ist a^b transzendent.

Die Voraussetzungen treffen auf a = b = $\sqrt{2}$ zu, und damit folgt aus dem Satz, dass $\sqrt{2}$ ^$\sqrt{2}$ transzendent und damit insbesondere irrational ist. Dagegen lässt der Satz von Gelfond-Schneider offen, ob transzendente Potenzen wie

π^π, e^π, π^e, e^e

irrational sind.