Das Hilbertsche Hotel
Das Hilbertsche Hotel hat unendlich viele Zimmer 0, 1, 2, 3, … Alle Zimmer des Hotels sind belegt. Ein neuer Gast kann aber trotzdem untergebracht werden, indem jeder alte Gast von seinem Zimmer n in das Zimmer n + 1 umzieht. Dadurch wird das Zimmer 0 für den neuen Gast frei. Ebenso können unendlich viele neue Gäste g0, g1, …, gn, … untergebracht werden, indem jeder alte Gast von Zimmer n in das Zimmer 2n umzieht. Dadurch werden die Zimmer 1, 3, 5, 7, … frei.
Dieses Gedankenexperiment illustriert, dass es, im Sinne einer möglichen 1-1-Korrespondenz, ebenso viele natürliche Zahlen größergleich 0 wie natürliche Zahlen größergleich 1 gibt:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
Ebenso gibt es ebenso viele natürliche Zahlen wie gerade natürliche Zahlen:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
0 | 2 | 4 | 6 | 8 | … |
Und es gibt ebenso viele natürliche Zahlen wie ganze Zahlen:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
0 | 1 | −1 | 2 | −2 | 3 | −3 | … |
Diese Beobachtungen lassen sich mit Hilfe des Bijektionsbegriffs allgemein fassen. Zwei Mengen M und N heißen gleichmächtig, in Zeichen |M| = |N|, falls eine Bijektion f : M → N existiert. Für das Folgende genügt die begrifflich einfachere Gleichmächtigkeit einer Menge M mit der Menge ℕ der natürlichen Zahlen. Den allgemeinen Begriff betrachten wir im Ausblick zu diesem Kapitel.