Subtraktion und Division

 Gilt x + x′ = 0, so heißt x′ ein additives Inverses von x. Ein additives Inverses von x ist eindeutig bestimmt. Gilt nämlich x + x′ = 0 und x + x″ = 0, so ist

x′  =  x′ + 0  =  x′ + (x + x″)  =  (x′ + x) + x″  =  0 + x″  =  x″.

Für das eindeutig bestimmte additiv inverse Element von x schreiben wir − x, und weiter definieren wir

x − y  =  x + (−y)  für alle x, y  ∈  K. (Subtraktion)

Damit haben wir, nur auf die ersten drei Körperaxiome gestützt, eine Subtraktion eingeführt.

 Eine wichtige Folgerung aus den Körperaxiomen (K1) − (K3) ist die Kürzungsregel für die Addition: Gilt y + x = z + x, so ist y = z. Denn

y  =  y + 0  =  y + (x − x)  =  (y + x) − x  =  (z + x) − x  =  z + (x − x)  =  z + 0  =  z.

Einprägsamer kann man dieses Argument so führen: Aufgrund des Assoziativgesetzes dürfen wir Klammern weglassen und statt a + (b + c) oder (a + b) + c einfach a + b + c schreiben. Gilt nun y + x = z + x, so können wir links und rechts −x addieren. Wir erhalten so y + x − x = z + x − x und damit y = z.

 Analog können wir aus den Körperaxiomen (K5) − (K7) eine Division gewinnen. Wir schreiben x⁻¹ für das eindeutig bestimmte multiplikative Inverse von x ≠ 0 und definieren

x/y  =  x · y⁻¹  für alle x und alle y ≠ 0. (Division)

Damit haben wir auf der Basis der Körperaxiome eine Division eingeführt. Einen Term x/y nennen wir wie üblich einen Bruch mit Zähler x und Nenner y.

 Wie für die Addition erhalten wir eine Kürzungsregel für die Multiplikation: Gilt y · x = z · x und x ≠ 0, so gilt y = z (Multiplikation von x⁻¹ auf beiden Seiten).

 Nach Definition gilt x − x = 0 für alle x und x/x = 1 für alle x ≠ 0. Weiter gilt − (− x) = x für alle x, denn − (− x) ist das additive Inverse von − x, und dieses ist gleich x (da −x + x = x − x = 0). Völlig analog gilt 1/(1/x) = x für alle x ≠ 0.