Die Existenz von Wurzeln

Die wichtigsten Lücken, die in ℝ im Vergleich zu ℚ geschlossen sind, sind vielleicht die Wurzeln:

Satz (Existenz von Quadratwurzeln in den reellen Zahlen)

Sei x ≥ 0. Dann existiert ein eindeutiges w ≥ 0 mit w² = x.

Beweis

Die Aussage ist klar für x = 0, sodass wir x > 0 annehmen. Wir setzen

I = { y ≥ 0 | 0 ≤ y² ≤ x }.

Die Menge I ist nach oben beschränkt durch max(1, x). Weiter ist I ein Intervall, denn ist 0 ≤ y′ ≤ y und y² ≤ x, so ist y′² ≤ x. Sei k ≥ 1 derart, dass 1/k² ≤ x. Dann ist 1/k  ∈  I, sodass [ 0, 1/k ] ⊆ I. Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert

w = sup(I).

Es gilt w ≥ 1/k > 0. Wir zeigen, dass w² = x (sodass I = [ 0, w ]). Hierzu zeigen wir vorab:

(a)	inf ({ (w + 1/n)²) \| n ≥ 1 }) = w²,

(b)	sup({ (w − 1/n)²) \| n ≥ 1, w ≥ 1/n }) = w².

Beweis von (a) und (b)

Für alle n ≥ 1 wie in (a) bzw. (b) gilt:

w² ≤ (w + 1/n)² = w² + 2w/n + 1/n² ≤ w² + (2w + 1)/n,

w² ≥ (w − 1/n)² = w² − 2w/n + 1/n² ≥ w² − 2w/n.

Hieraus (und der Archimedischen Anordnung) ergeben sich (a) und (b) durch die Bildung des Infimums bzw. Supremums der rechten Seiten.

Annahme w² < x. Dann gibt es nach (a) ein n ≥ 1 mit (w + 1/n)² < x, sodass

sup(I) = w < w + 1/n  ∈  I, Widerspruch.

Analog ist w² > x aufgrund von (b) nicht möglich. Damit gilt w² = x.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Monotonie der Quadrierung auf [ 0, ∞ [: Gilt 0 ≤ w₁ < w₂, so gilt w₁² < w₂².

Die Eindeutigkeit können wir auch so einsehen:

Algebraischer Beweis der Eindeutigkeit

Sind w₁, w₂ reelle Zahlen mit w₁² = x = w₂², so gilt

(w₁ + w₂) (w₁ − w₂) = w₁² − w₂² = 0,

sodass w₁ = − w₂ oder w₁ = w₂. Hieraus folgt die Eindeutigkeit in [ 0, ∞ [.

Aufgrund des Satzes können wir definieren:

Definition (reelle Quadratwurzel)

Sei x ≥ 0. Das eindeutige w ≥ 0 in ℝ mit w² = x heißt die (nichtnegative reelle) Quadratwurzel von x. Wir bezeichnen sie mit $\sqrt{x}$ oder sqrt(x).

Die Bezeichnung sqrt steht für engl. „square root“ und ist vor allem in der Informatik gebräuchlich. Funktional notiert gilt

sqrt : [ 0, ∞ [ → ℝ bzw. $\sqrt{·}$ : [ 0, ∞ [ → ℝ.

Für alle x, y ≥ 0 gilt sqrt(x y) = sqrt(x) sqrt(y). Ist x ≥ 0, so gilt sqrt(x)² = x. Weiter gilt für alle x  ∈  ℝ:

$\sqrt{x^{2}}$ = sqrt(x²) = |x|. (Formel vom nicht vergessenen Betrag)

Beispielsweise ist sqrt((− 3)²) = sqrt(9) = 3 = |− 3|.

Sei y  ∈  ℝ. Dann hat die reelle Gleichung x² = y in der Variablen x für y < 0 keine reelle Lösung, für y = 0 die eindeutige Lösung x₁ = 0 und für y > 0 die Lösungen x_1,2 = ± sqrt(y).

Die Existenz von Wurzeln lässt sich elegant mit dem allgemeinen Kalkül für Suprema und Infima beweisen. Sind X, Y ⊆ [ 0, ∞ [ nichtleer und beschränkt und ist X Y = { x y | x  ∈  X, y  ∈  Y }, so gilt (vgl. die Übungen):

sup(X Y) = sup(X) sup(Y),(Produktregel für Suprema)

inf (X Y) = inf (X) inf (Y).(Produktregel für Infima)

Zweiter Beweis der Existenz von Quadratwurzeln

Sei x ≥ 0. Für die Intervalle I = { y ≥ 0 | y² ≤ x } und J = { y ≥ 0 | x ≤ y² } gilt I ∪ J = [ 0, ∞ [ und daher sup(I) = inf (J). Weiter gilt:

x	≤ inf { y² \| y  ∈  J } = inf { y₁ y₂ \| y₁, y₂  ∈  J }
	= inf (J²) = inf (J)² = sup(I)² = sup(I²)
	= sup { y₁ y₂ \| y₁, y₂  ∈  I } = sup { y² \| y  ∈  I } ≤ x.

Damit gilt x = w² mit w = sup(I) = inf (J).

Wir diskutieren noch eine weitere Variante, die auf folgendem für sich interessanten Satz beruht:

Satz (Dichtheit rationaler Quadrate, rationale Wurzelapproximation)

In ℚ gilt:

(+) { q² | q  ∈  ℚ } ist dicht in ℚ⁺₀ = { q  ∈  ℚ | q ≥ 0 }.

Genauer gilt: Seien s, δ  ∈  ℚ mit 0 < δ < s. Weiter n die kleinste natürliche Zahl mit der Eigenschaft

n² ≤ ^{s (s + 2)²}_δ² < (n + 1)².

Schließlich sei q = (n δ)/(s + 2). Dann gilt q²  ∈  ] s − δ, s ].

Beweis

Nach Definition von n gilt q² = n² δ²/(s + 2)² ≤ s. Aus q² ≤ s folgt

4 q² ≤ 4 s ≤ 4 s + (s − 1)² = (s + 1)²,

sodass 2q ≤ s + 1. Damit erhalten wir

(2n + 1) δ = 2n δ + δ = 2q (s + 2) + δ ≤ (s + 1) (s + 2) + s ≤ (s + 2)².

Nach Definition von n und q gilt also

s − q² < ^{(n + 1)² δ²}_{(s + 2)²} − ^n² δ²_{(s + 2)²} = ^{(2n + 1) δ}_{(s + 2)²} δ ≤ δ,

sodass q² > s − δ. Insgesamt ist also q²  ∈  ] s − δ, s ].

Damit erhalten wir nun leicht:

Dritter Beweis der Existenz von Quadratwurzeln

Sei x  ∈  ℝ mit x ≥ 0, und sei w = sup(I) = inf (J) mit den reellen Intervallen I und J wie oben. Dann gilt (mit (+) aus obigem Satz):

x =₍₊₎ sup { y² | y ≥ 0, y² ≤ x } ≤ w² ≤ inf { y² | y ≥ 0, x ≤ y² } =₍₊₎ x.

(Da y ≤ w für alle y  ∈  I gilt, ist w² eine obere Schranke aller y² mit y  ∈  I; analoges gilt für die zweite Ungleichung.) Dies zeigt, dass w² = x.

Sind Quadratwurzeln bekannt, so ist (+) leicht zu zeigen: Eine rationale Zahl q mit sqrt(r) < q ≤ sqrt(s), r = s − δ, ist wie gewünscht (und existiert, da ℚ dicht in ℝ ist). Weiter ist jede hinreichend gute rationale Approximation an sqrt((r + s)/2) geeignet. Unser Beweis von (+) erlaubt es, q konkret anzugeben. Insbesondere kann der Satz verwendet werden, irrationale Zahlen wie sqrt(2) beliebig genau durch rationale Zahlen zu approximieren.

Beispiele

(1)	Für s = 18 und δ = 1 gilt s (s + 2)²/δ² = 18 · 20² = 7200. Wir erhalten: n = 84 (mit 84² = 7056 ≤ 7200 < 7225 = 85²) q = ⁸⁴₂₀ = ²¹₅ = 4,2; q² = ⁴⁴¹₂₅ = 17,64.

(2)	Für s = p² gilt n² = p² (p + 2)²/δ² und weiter q² = (n δ)²/(p² + 2)² = p². Ist also die rechte Intervallgrenze eine rationale Quadratzahl p², so wird p durch unsere Berechnung reproduziert.

(3)	Für s = 2 und δ = 1/10 erhalten wir: n = 56, q = ⁷₅ = 1,4; q² = ⁴⁹₂₅ = 1,96

(4)	Für s = 2 und δ = 1/10⁶ erhalten wir: n = 5656854, q = ^2828427_{2 · 10⁶} = 1,4142135 q² = ^{7999999294329}_{4 · 10¹²} = 1,99999982358225

Die Zahl n ergibt sich durch ganzzahliges Abrunden von $\sqrt{s}$ (s + 2)/δ, falls die Wurzelfunktion bereits berechnet werden kann. Ohne Wurzelfunktion lässt sich n effektiv durch eine Intervallschachtelung in den natürlichen Zahlen bestimmen. Eine weitere Methode zur rationalen Approximation von Wurzeln werden wir im Heron-Verfahren kennenlernen (vgl. 2.1, 4.5 und E11).

Allgemein lässt sich mit Suprema und Infima zeigen:

Satz (Existenz von n-ten Wurzeln in den reellen Zahlen)

Seien x ≥ 0 und n ≥ 1. Dann gibt es genau ein w ≥ 0 mit wⁿ = x. Weiter gilt

w = sup { y ≥ 0 | yⁿ ≤ x } = inf { y ≥ 0 | x ≤ yⁿ }.

Wir bezeichnen die reelle Zahl w wie im Satz mit root_n(x) oder ⁿ $\sqrt{x}$ .

Wir geben später einen weiteren (und sehr einfachen) Beweis dieses Ergebnisses mit Hilfe der Limesregeln für konvergente Folgen.