Die imaginäre Einheit

 Wir wollen die komplexen Zahlen nun weiter untersuchen. Die fundamentale Größe i können wir einfach und formal unproblematisch als den zweiten kanonischen Einheitsvektor der Ebene definieren:

Definition (imaginäre Einheit)

Wir setzen i = (0, 1). Die komplexe Zahl i heißt die imaginäre Einheit.

 Es ist instruktiv, die Multiplikation einer komplexen Zahl mit der imaginären Einheit zu untersuchen:

Beispiel
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Für alle z = (x, y)  ∈  ℂ gilt:

iz  =  zi  =  (x, y) (0, 1)  =  (− y, x).

Geometrisch entspricht dies der Drehung des Vektors (x, y) um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn, in Übereinstimmung mit der geometrischen Multiplikationsregel. Speziell ist i · i = (−1, 0) = −1 die Drehung von i um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn.

 Wir können ℝ ⊆ ℂ erreichen, indem wir jedes x  ∈  ℝ mit (x, 0)  ∈  ℂ identifizieren. Diese Identifikation ist mit den Operationen auf ℂ verträglich, da

(x1, 0)  +  (x2, 0)  =  (x1 + x2, 0),

(x1, 0) · (x2, 0)  =  (x1 x2, 0)  für alle x1, x2  ∈  ℝ.

 Wegen (x, 0) · (x1, y1) = (x x1, x y1) ist die Identifikation von x mit (x, 0) mit der Skalarmultiplikation

x (x1, y1)  =  (x x1, x y1)  für x  ∈  ℝ und (x1, y1)  ∈  ℝ2

von Vektoren der Ebene vereinbar.

 Damit haben wir also unser Zahlsystem um eine neue Stufe erweitert:

ℕ  ⊆  ℤ  ⊆  ℚ  ⊆  𝔸  ⊆  ℝ  ⊆  ℂ

Dass alles, was wir „Zahlen“ nennen, durch ein „größer oder kleiner“ geordnet ist, müssen wir im letzten Schritt preisgeben. (Warnung: Die Menge ℂ lässt sich durchaus linear ordnen, sodass (O1) − (O3) gelten; es ist aber nicht möglich, auch (A1) und (A2) zu erreichen.) Die algebraischen Eigenschaften und die Existenz einer komplexen Analysis rechtfertigen es aber, die Elemente von ℂ = ℝ2 Zahlen zu nennen.