Real- und Imaginärteil
Zwei wichtige reellwertige Funktionen auf den komplexen Zahlen sind:
Definition (Real- und Imaginärteil, rein imaginär)
Für alle z = (x, y) ∈ ℂ setzen wir:
Re(z) = x, Im(z) = y.
Die reellen Zahlen Re(z) und Im(z) heißen der Realteil bzw. der Imaginärteil von z. Eine komplexe Zahl z heißt rein imaginär, falls Re(z) = 0.
Für alle z ∈ ℂ gilt
z = (Re(z), 0) + (0, Im(z)) = (Re(z), 0) + i (Im(z), 0) = Re(z) + i Im(z).
Diese Darstellung zeigt zusammen mit dem Distributivgesetz, dass das Rechnen mit komplexen Größen vollständig auf das Rechnen mit reellen Größen und i zurückgeführt werden kann. Damit haben wir unsere ursprüngliche Motivation wiedergefunden.
Eine häufig benutzte komplexwertige Funktion auf ℂ ist:
Definition (komplexe Konjugation)
Für jedes z ∈ ℂ setzen wir:
z = Re(z) − i Im(z).
Die komplexe Zahl z heißt die (komplex) Konjugierte von z.
Geometrisch beschreibt die komplexe Konjugation die Spiegelung des Vektors z an der x-Achse. Die reellen Zahlen sind durch die Bedingung z = z ausgezeichnet, und die zweimalige Konjugation von z ist stets z.
Wir haben den Real- und Imaginärteil verwendet, um die komplexe Konjugation zu definieren. Umgekehrt können wir den Real- und Imaginärteil mit Hilfe der Konjugation rekonstruieren, denn für alle z ∈ ℂ gilt:
Re(z) = ,
Im(z) = .