Der Betrag einer komplexen Zahl
Auch im Komplexen können wir mit Hilfe der reellen Quadratwurzel eine Betragsfunktion definieren:
Definition (Betrag einer komplexen Zahl)
Für jede komplexe Zahl z sei
|z| = .
Die reelle Zahl |z| heißt der Betrag von z.
Der Betrag einer komplexen Zahl z = (x, y) ist also die Euklidische Länge des Vektors (x, y). Für alle x ∈ ℝ gilt |x| = |(x, 0)|, sodass die komplexe Betragsfunktion die reelle Betragsfunktion fortsetzt.
Eigenschaften des komplexen Betrages
Für alle z, w ∈ ℂ gelten die aus dem Reellen bekannten Eigenschaften:
(a) | |z| = 0 genau dann, wenn z = 0, |
(b) | |z + w| ≤ |z| + |w|, (Dreiecksungleichung) |
(c) | |z w| = |z| |w|. (Produktregel) |
Neu ist dagegen die Möglichkeit, den Betrag mit Hilfe der komplexen Konjugation zu berechnen:
|z|2 = z · z für alle z ∈ ℂ.
Der Leser ist aufgerufen, diese Formel sowohl algebraisch zu beweisen als auch mit Hilfe der geometrischen Multiplikationsregel zu begründen.