Komplexe Quadratwurzeln

 Schließlich definieren wir noch:

Definition (komplexe Quadratwurzel)

Eine komplexe Zahl w heißt eine komplexe Quadratwurzel einer komplexen Zahl z, falls w2 = z gilt.

 Mit w ist immer auch −w eine Quadratwurzel von z. Darüber hinaus existieren keine weiteren Quadratwurzeln von z.

 Wir wollen hier keine komplexen Wurzelfunktionen einführen, folgen aber zuweilen der Konvention, dass

w  =  z

eine Kurzform von „w ist eine komplexe Quadratwurzel von z“ sein soll, d. h., w ist eine der beiden komplexen Zahlen, deren Quadrat gleich z ist. Sparsam und mit Kommentaren eingesetzt führt dieser notationelle Missbrauch des Wurzelzeichens nicht zu Fehlern, und speziell sind Aussagen wie

„Für w = ± z gilt …“

unzweideutig.

 Mit Hilfe der geometrischen Multiplikationsregel können wir die komplexen Quadratwurzeln einer komplexen Zahl z leicht angeben: Wir „wurzeln“ die reelle Länge und halbieren den Winkel von z. Wir erhalten so eine komplexe Quadratwurzel w von z. Die andere Quadratwurzel ist −w.

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 Eine rein algebraische Bestimmung der komplexen Quadratwurzeln werden wir im nächsten Kapitel kennenlernen.