6. Algebraische Gleichungen

Ein komplexes Polynom hat die Form

(+)  P  =  a_k z^k  +  a_k − 1 z^k − 1  +  …  +  a₁ z  +  a₀

mit Koeffizienten a₀, …, a_k  ∈  ℂ und einer Variablen z. Sind alle Koeffizienten gleich 0, so heißt P das Nullpolynom. Andernfalls existiert ein größtes k mit a_k ≠ 0. Wir nennen dann a_k den Leitkoeffizienten des Polynoms und k seinen Grad. Gilt zudem a_k = 1, so heißt das Polynom normiert. Polynome der Form P = a₀ heißen konstant. Sie haben im Fall a₀ ≠ 0 den Grad 0. Dem Nullpolynom ordnen wir den symbolischen Grad − ∞ zu. Der Grad eines Polynoms wird mit deg(P) bezeichnet. Es gilt zum Beispiel

deg(2 + i)  =  0,  deg(i z)  =  1,  deg(z² + i z + 1)  =  2,  deg(0)  =  −∞.

 Formal können wir ein Polynom als Term (ein syntaktisches Objekt) auffassen oder eleganter mit der Koeffizientenfolge (a₀, a₁, …, a_k, 0, 0, 0, …) (mit Nullfortsetzung) identifizieren. Die Durchführung der Formalisierung in einem allgemeinen Kontext ist eine Aufgabe der Algebra (Konstruktion von Polynomringen). Hier genügt ein intuitives Verständnis.

 Einem Polynom wie in (+) ordnen wir die Polynomfunktion oder Auswertungsfunktion f_P : ℂ → ℂ zu. Sie ist definiert durch

f_P(z)  =  a_k z^k  +  a_k − 1 z^k − 1  +  …  +  a₁ z  +  a₀  für alle z  ∈  ℂ.

In (+) spielt z die Rolle einer Variable, in der Definition von f_P ist z eine Stelle und der Funktionswert wird durch Termauswertung berechnet. (In der Algebra werden zur Unterscheidung oft große Buchstaben wie X, Y, Z als Variable in (+) verwendet.)

 Völlig analog werden Polynome und die zugehörigen Sprechweisen und Begriffe für einen beliebigen Körper K erklärt. Wir konzentrieren uns hier auf K = ℚ, ℝ, 𝔸, ℂ, aber prinzipiell ist jeder Körper (und allgemeiner jeder Ring) als Ausgangspunkt geeignet. Die Koeffizienten eines Polynoms P über K sind nun Elemente von K, und die Auswertungsfunktion hat die Form f_P : K → K.

 In der Analysis ist es üblich, Polynome und Polynomfunktionen miteinander zu identifizieren. Dies vereinfacht die Sprechweise. Wir können also die Funktion f : ℂ → ℂ mit f (z) = z² als Polynom bezeichnen, oder vom Polynom z³ − 1 sprechen. In beliebigen Körpern ist hier Vorsicht geboten: Ist K endlich, so gibt es nur endlich viele Funktionen f : K → K. Dagegen gibt es unendlich viele Polynome über K in einer Variablen X, etwa die Monome 1, X, X², …, X^k, … für alle k  ∈  ℕ. Damit gibt es in einem endlichen Körper immer Polynome P und Q mit P ≠ Q und f_P = f_Q. Ein instruktives Beispiel ist:

 Wir werden gleich zeigen, dass in jedem unendlichen Körper der Übergang von P zu f_P injektiv ist, d. h. die Auswertungsfunktionen von P und Q sind genau dann gleich, wenn P und Q dieselben Koeffizientenfolgen besitzen (als algebraische Polynome übereinstimmen). Polynome über einem unendlichen Körper wie K = ℚ, ℝ, 𝔸 oder ℂ können also mit den ihnen zugeordneten Polynomfunktionen identifiziert werden.

 Eng verwandt mit Polynomen sind algebraische Gleichungen. Sind a₀, …, a_k  ∈  ℂ mit a_k ≠ 0, so heißt

a_k z^k  +  …  +  a₁ z  +  a₀  =  0

eine algebraische Gleichung in ℂ vom Grad k in der Unbestimmten z. Wir übernehmen alle Sprechweisen von Polynomen: Die Körperelemente a₀, …, a_k heißen die Koeffizienten der Gleichung und a_k ihr Leitkoeffizient. Gilt a_k = 1, so heißt die Gleichung normiert. Die linke Seite der Gleichung definiert ein Polynom P und eine zugehörige Auswertungsfunktion f_P : ℂ → ℂ, die wir wie geschildert oft ebenfalls mit P bezeichnen. Ein w  ∈  ℂ heißt eine Lösung der Gleichung, wenn P(w) = f_P(w) = 0. Die Gleichung heißt lösbar (in ℂ), falls eine Lösung w  ∈  ℂ existiert. Andernfalls heißt sie unlösbar. Das Lösen von algebraischen Gleichungen ist äquivalent zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomfunktionen.

 Analog sind algebraische Gleichungen in ℚ, 𝔸, ℝ oder einem beliebigen Körper K erklärt. Die Lösbarkeit hängt vom verwendeten Körper ab. Die Gleichung x² − 2 = 0 ist unlösbar in ℚ, aber lösbar in 𝔸, ℝ und ℂ. Die Gleichung a = 0 ist im Fall a ≠ 0 in jedem Körper unlösbar.