Lösen quadratischer Gleichungen

 Im Folgenden sei K = ℚ, 𝔸, ℝ oder ℂ. Allgemeiner gelten die folgenden Ausführungen für alle Körper K mit 2 = 1 + 1 ≠ 0, sodass 2⁻¹ existiert.

 In K hat eine algebraische Gleichung a z + b = 0 vom Grad 1 genau die Lösung z = − b/a. Dagegen ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form a z² + b z + c = 0 nicht mehr offensichtlich. Durch quadratische Ergänzung lassen sich diese Gleichungen aber vereinfachen. Zunächst dürfen wir annehmen, dass a = 1 gilt (sonst dividieren wir durch a, ohne die Lösungen zu verändern). Unsere Gleichung lautet dann

(+)  z²  +  b z  +  c  =  0.

Mit t = z + b/2 erhalten wir

(t − b/2)²  +  b (t − b/2)  +  c  =  0.

Ausmultiplizieren liefert

(++)  t²  −  b²/4  +  c  =  0.

Die Lösungen von (+) und (++) entsprechen einander via „t = z + b/2“. Es genügt also, reinquadratische Gleichungen zu lösen:

(+++)  z²  −  d  =  0.

Eine Lösung w für d = b²/4 − c liefert eine Lösung w − b/2 von (+).

Quadratische Gleichungen in ℝ

 Im Körper ℝ können wir z² − d = 0 durch Wurzelziehen genau dann lösen, wenn d ≥ 0 gilt. Damit erhalten wir, mit der Unbestimmten x statt z:

 Die zweite Formel erhält man, indem man in der ersten Formel b/a für b und c/a für c substituiert. Die Zahl b² − 4ac, die die Lösbarkeit von a x² + b x + c = 0 entscheidet, heißt auch die Diskriminante der quadratischen Gleichung. Die Lösungsformel wird auch als Mitternachtsformel bezeichnet, weil man sie als Schüler (und Lehrer) zu jeder Tages- und Nachtzeit parat haben sollte.

Quadratische Gleichungen in ℂ

 Wir betrachten nun eine quadratische Gleichung a z² + b z + c = 0 in ℂ. Die Koeffizienten a, b, c sind nun komplexe Zahlen. Unsere Überlegungen bleiben richtig, und die Lösungsformel gilt nun sogar ohne eine Bedingung an die Diskriminante. Dabei verstehen wir obiger Konvention folgend unter $\sqrt{{\mathrm{b}}^2-\text{4ac}}$ ein w  ∈  ℂ mit w² = b² − 4ac. Da in der Lösungsformel ein ±-Zeichen vor der Wurzel steht, spielt es keine Rolle, welches der beiden möglichen w wir wählen.

 Wie finden wir nun aber ein w  ∈  ℂ mit w² = d = b² − 4ac ? Ist der Imaginärteil von d gleich 0, so ist dies einfach. Denn ist Re(d) ≥ 0, so ist w = ± $\sqrt{\text{Re}(\mathrm{d})}$ geeignet, und für Re(d) < 0 ist w = ± $\sqrt{\text{|Re}(\mathrm{d})\mathrm{|}}$ i wie gewünscht. Zur Lösung von z² = d für beliebige d nehmen wir an, wir hätten ein w = (x, y) mit w² = d. Dann gilt

Re(w²)  =  Re(d),  Im(w²)  =  Im(d),  |w|²  =  |d|,  sodass

x² − y²  =  Re(d),  2 x y  =  Im(d),  x² + y²  = |d|,

2 x²  =  (x² + y²) + (x² − y²)  =  |d| + Re(d),

2 y²  =  (x² + y²) − (x² − y²)  =  |d| − Re(d).

Wegen |Re(d)| ≤ |d| können wir reelle Wurzeln ziehen und erhalten

x  =  ± $\sqrt{(\text{|d|}+\text{Re}(\mathrm{d}))/2}$,  y  =  ± $\sqrt{(\text{|d|}-\text{Re}(\mathrm{d}))/2}$.

Ist Im(d) > 0, so ist wegen 2 x y = Im(d) in diesen Ausdrücken entweder zweimal „+“ oder zweimal „−“ als Wahl von ± möglich. Ist Im(d) < 0, so ist nur eine gemischte Wahl von „+“ und „−“ möglich. Ist Im(d) = 0, so können wir das Vorzeichen beliebig wählen (es gilt dann x = 0 oder y = 0).

 Wir haben damit in Abhängigkeit des Vorzeichens von Im(d) je zwei Lösungskandidaten gefunden. Einsetzen in z² = d zeigt, dass diese Kandidaten tatsächlich Lösungen sind. Zusammenfassend erhalten wir:

 Vektoriell gelesen liefert (+) für d = (Re(d), Im(d)) = (x, y)  ∈  ℝ² mit |d| = 1 trigonometriefreie Winkelhalbierungsformeln für normierte Vektoren.