Die Limesregeln

 Die Folgennotation erlaubt es, arithmetische Operationen mit Folgen einfach und suggestiv zu notieren. Sind (xn)n  ∈  ℕ und (yn)n  ∈  ℕ Folgen, so ist zum Beispiel

(xn + yn)n  ∈  ℕ  =  „die Folge (zn)n  ∈  ℕ mit zn = xn + yn für alle n“.

Die Folge (xn + yn)n  ∈  ℕ heißt die Summe der Folgen (xn)n  ∈  ℕ und (yn)n  ∈  ℕ. Analog ist das Produkt (xn yn)n  ∈  ℕ zweier Folgen definiert usw. Die Limesbildung respektiert diese arithmetischen Operationen:

Satz (Limesregeln für die Folgenarithmetik)

Seien (xn)n  ∈  ℕ und (yn)n  ∈  ℕ konvergente Folgen in ℝ. Dann gilt:

(a)

limn (xn + yn)  =  limn xn  +  limn yn,

(b)

limn (xn · yn)  =  limn xn  ·  limn yn,

(c)

limn (a xn)  =  a limn xn  für alle a  ∈  ℝ,

(d)

limn (xkn)  =  (limn xn)k  für alle k  ∈  ℕ,

(e)

limn (xn − yn)  =  limn xn  −  limn yn,

(f)

limn (xn / yn)  =  limn xn  /  limn yn,

falls yn ≠ 0 für alle n und limn yn ≠ 0.

Beweis

Seien x = limn xn und y = limn yn.

zu (a):  Sei ε > 0. Dann existieren n0 ≤ n1 mit

|xn − x| <  ε/2  für alle n ≥ n0,  |yn − y| <  ε/2  für alle n ≥ n1.

Für alle n ≥ n1 gilt dann aber

| xn + yn − (x + y) |  ≤  | xn − x |  +  | yn − y |  <  ε/2  +  ε/2  =  ε.

zu (b):  Da konvergente Folgen beschränkt sind, gibt es ein r > 0 mit

|xn|, |yn|, |x|, |y|  <  r  für alle n.

Sei nun ε > 0. Dann existieren n0 ≤ n1 mit

| xn  −  x |  <  ε2r  für alle n ≥ n0,  | yn  −  y |  <  ε2r  für alle n ≥ n1.

Für alle n ≥ n1 gilt dann aber

| xn yn − x y |  =  | xn yn − x yn + x yn − x y |  =  | (xn − x) yn + x (yn − y) |

  ≤  | (xn − x) yn |  +  | x (yn − y) |  <  ε2 r · r  +  r · ε2 r  =  ε.

zu (c):  Die Aussage folgt aus (b), da die konstante Folge (a, a, a, …) den Grenzwert a besitzt.

zu (d):  Die Aussage folgt aus (b) durch Induktion nach k.

zu (e):  Nach (a) und (c) für den Faktor a = −1 gilt

limn (xn − yn)  =  limn xn  +  limn − yn  =  limn xn  −  limn yn.

zu (f):  Aufgrund von (b) genügt es zu zeigen, dass limn 1/yn = 1/y gilt.

Sei hierzu ε > 0. Dann existieren n0 ≤ n1 mit

| yn |  ≥  |y|2  für alle n ≥ n0, 
| yn − y |  <  ε |y|22  für alle n ≥ n1.

Für alle n ≥ n1 gilt dann aber

| 1yn  −  1y |   =  | y  −  ynyn y |   <  ε |y|22  · 2|y| · 1|y|  =  ε.

 Die Limesregeln erleichtern den Umgang mit Grenzwerten, und sie eignen sich auch, um Rechenregeln für Suprema und Infima zu beweisen.

Beispiele

(1)

limn ≥ 1 1 + nn  =  limn ≥ 1 (1n  +  nn)

  =  limn ≥ 1 1n  +  limn ≥ 1 nn  =  0  +  1  =  1.

(2)

Seien X, Y ⊆ [ 0, ∞ [ nichtleer und beschränkt, und seien s = sup(X), t = sup(Y). Dann gibt es monoton steigende Folgen (xn)n ∈ ℕ in X und (yn)n  ∈  ℕ in Y mit s = supn xn und t = supn yn (Übung). Für

X · Y  =  { x y | x  ∈  X, y  ∈  Y }

gilt dann

sup(X · Y)  =  supn xn yn  =  limn xn yn  =  s t  =  sup(X) sup(Y).