Wurzeln und rationale Exponenten

Die Stärke der Potenzregel (d) für konvergente Folgen zeigt der folgende einfache Beweis der Existenz von Wurzeln in ℝ.

Satz (Existenz von Wurzeln)

Für alle n ≥ 1 und alle x ≥ 0 existiert ein eindeutiges y ≥ 0 mit yⁿ = x.

Beweis

Sei n ≥ 1. Die Aussage ist trivial für x = 0 (mit y = 0). Sei also x > 0. Gilt 0 ≤ y₁ < y₂, so ist y₁ⁿ < y₂ⁿ. Dies zeigt die Eindeutigkeit. Für die Existenz sei

Y = { y ≥ 0 | yⁿ ≤ x }.

Dann ist 0  ∈  Y und Y ≤ max(x, 1), also existiert

y = sup(Y).

Wegen x > 0 ist y > 0. Sei also (ε_k)_{k  ∈  ℕ} eine streng monoton fallende Nullfolge mit ε₀ < y. Dann ist y − ε_k  ∈  Y und y + ε_k  ∉  Y für alle k, und damit gilt:

x ≤ lim_k (y + ε_k)ⁿ = (lim_k y + ε_k)ⁿ = yⁿ = (lim_k y − ε_k)ⁿ = lim_k (y − ε_k)ⁿ ≤ x.

Also ist yⁿ = x.

Wir definieren:

Definition (n-te Wurzel)

Für alle n ≥ 1 und alle x ≥ 0 in ℝ heißt das eindeutige y ≥ 0 in ℝ mit yⁿ = x die n-te Wurzel von x, in Zeichen

y = root_n(x) = ⁿ $\sqrt{x}$ .

Im Fall n = 2 heißt y die (positive) Quadratwurzel von x.

Für ungerade n können wir allgemeiner ⁿ $\sqrt{x}$ für alle x  ∈  ℝ definieren.

Die n-ten Wurzeln

f_n : [ 0, ∞ [ → ℝ, f_n(x) = ⁿ $\sqrt{x}$ für n = 2, 4, 8, 16

Rationale Exponenten

Aus theoretischer wie praktischer Sicht ist eine alternative exponentielle Notation für die Wurzeln angemessen. Da für die Quadratwurzel y einer reellen Zahl x > 0 die Gleichung y · y = x gilt, bietet sich die Potenzschreibweise y = x^1/2 an. Dann ist

x^1/2 · x^1/2 = x¹ = x^{1/2 + 1/2},

mit der vertrauten Behandlung der Exponenten. Bezeichnen wir analog die dritte Wurzel aus x mit x^1/3, und setzen wir weiter x^2/3 = (x^1/3)², so gilt

x^1/3 · x^1/3 · x^1/3 = x¹ = x^{1/3 + 1/3 + 1/3}, x^1/3 · x^1/3 = x^{1/3 + 1/3} = x^2/3, …

Diese Überlegungen motivieren die folgende Definition:

Definition (Exponentiation für rationale Exponenten)

Für alle x > 0 und q = m/n  ∈  ℚ, m, n  ∈  ℤ, n ≥ 1, setzen wir

x^q = root_n(x^m) = ⁿ $\sqrt{x^{m}}$ .

Für q > 0 setzen wir zudem 0^q = 0.

Beispielsweise ist 2^− 3/5 = root₅(2⁻³) = root₅(1/8) = ⁵ $\sqrt{1 / 8}$ .

Die Exponentiation ist wohldefiniert, denn für alle n, m, n′, m′ und x > 0 gilt:

m/n = m′/n′ impliziert x^m/n = x^m′/n′.

Für den Fall n = 1 geht die neue Exponentiation in die alte Exponentiation für ganzzahlige Exponenten und nichtnegative Basen über.

Wie erwünscht gelten die alten Rechengesetze:

Satz (Rechengesetze für Wurzeln)

Für alle x, y > 0 und alle p, q  ∈  ℚ gilt:

(a)	(x y)^p = x^p y^p,

(b)	x^p x^q = x^p + q,

(c)	(x^p)^q = x^{p q} = (x^q)^p.

Gilt p, q > 0, so gelten diese Aussagen für alle x, y ≥ 0.

Für ungerade n können wir die Definition von x^m/n wieder auf ganz ℝ erweitern, d. h. auch negative Zahlen zulassen. Dann ist zum Beispiel (−27)^1/3 = − 3. Positive Basen sind für die Exponentiation der „gute Fall“. Bei negativen Basen ist Vorsicht geboten. So ist zum Beispiel x² = x^4/2 = (x⁴)^1/2 für alle x  ∈  ℝ, während die Rechnung x² = x^4/2 = (x^1/2)⁴ nach der Regel (c) nur für x ≥ 0 sinnvoll ist.

Im weiteren Verlauf werden wir die Exponentiation noch einmal erweitern, nämlich zu einer Exponentiation x^y für x > 0 und y  ∈  ℝ.