Konvergenz in ℂ
Die entwickelte Theorie der Konvergenz von Folgen können wir leicht auf die komplexen Zahlen übertragen:
Definition (Grenzwerte für komplexe Folgen)
Eine komplexe Zahl z heißt ein Grenzwert einer Folge (zn)n ∈ ℕ in ℂ, falls gilt:
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |zn − z| < ε.
Das ε ist nach wie vor reell. In der Definition der Konvergenz und in vielen Beweisen benutzen wir nur elementare Eigenschaften der Betragsfunktion wie die Dreiecksungleichung, die auch in ℂ gilt. Damit sind Grenzwerte für Folgen in ℂ wieder eindeutig bestimmt. Die Limesregeln für die Folgenarithmetik gelten auch in ℂ.
Beispiele
(1) | limn ≥ 1 in/n = 0. |
(2) | limn in existiert nicht. |
(3) | limn ≥ 1 (1 + (1 + i)/n) = 1. |
(4) | limn (1/n + i n/(n + 1)) = limn ≥ 1 (1/n, n/(n + 1)) = (0, 1) = i. |
(5) | Eine gegen x konvergente Folge (xn)n ∈ ℕ in ℝ konvergiert auch in ℂ gegen x, wobei wir wie immer ℝ ⊆ ℂ annehmen. Ebenso divergiert eine reelle Folge in ℂ, wenn sie in ℝ divergiert. |
Die Konvergenz einer Folge in ℂ können wir auf die Konvergenz zweier Folgen in ℝ zurückführen:
Satz (komponentenweise Konvergenz für Folgen in ℂ)
Seien (zn)n ∈ ℕ eine Folge in ℂ und z ∈ ℂ. Dann sind äquivalent:
(a) | limn zn = z. |
(b) | limn Re(zn) = Re(z) und limn Im(zn) = Im(z). |
Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen.