Der Satz von Bolzano-Weierstraß

Die Folge (0, 1, 2, …) hat keinen Häufungspunkt. Dagegen hat die Pendelfolge (1, −1, 1, −1, …) die Häufungspunkte 1 und −1. Unser erster „großer Satz“, den wir insbesondere bei der Untersuchung von stetigen Funktionen einsetzen werden, besagt nun allgemein, dass Folgen, deren Glieder sich in einem beschränkten Bereich von ℝ tummeln, immer einen Häufungspunkt besitzen:

Satz (Satz von Bolzano-Weierstraß)

Jede beschränkte Folge (x_n)_n ∈ ℕ in ℝ besitzt einen Häufungspunkt.

Beweis

Sei (x_n)_n ∈ ℕ beschränkt durch r > 0. Wir setzen I₀ = [ −r, r ] und i₀ = 0. Dann gilt { x_n | n  ∈  ℕ } ⊆ I₀. Durch iterierte Halbierung von I₀ können wir rekursiv abgeschlossene Intervalle I_n = [ a_n, b_n ] und natürliche Zahlen i_n definieren, sodass für alle n gilt:

(a)	I_n + 1 ⊆ I_n,

(b)	b_n − a_n = ^{b₀ − a₀}_2ⁿ,

(c)	es gibt unendlich viele i mit x_i  ∈  I_n,

(d)	i_n + 1 > i_n,

(e)	x_{i_n}  ∈   I_n.

zur rekursiven Konstruktion

Seien I_n = [ a_n, b_n ] und i_n konstruiert. Wir setzen:

c_n = ^a_n + b_n₂,(Intervallmittelpunkt)

L = [ a_n, c_n ], R = [ c_n, b_n ].(linke und rechts Hälfte)

Da nach (c) unendlich viele Folgenglieder in I_n liegen, tritt einer der beiden folgenden (sich nicht ausschließenden) Fälle ein:

1. Fall: Es liegen unendlich viele Folgenglieder in L.

2. Fall: Es liegen unendlich viele Folgenglieder in R.

Wir setzen I_n + 1 = L im ersten Fall und I_n + 1 = R andernfalls. Weiter sei

i_n + 1 = „das kleinste i > i_n mit x_i  ∈  I_n + 1“.

Nach dem Prinzip der Intervallschachtelung ist der Durchschnitt aller I_n die einpunktige Menge { x* } mit

x* = sup_n a_n = inf_n b_n.

Dieses x* ist ein Häufungspunkt von (x_n)_n ∈ ℕ. Denn es gilt:

(+) lim_n x_{i_n} = x*.

Beweis von (+)

Sei ε > 0, und sei n₀ mit b_n₀ − a_n₀ < ε. Für jedes n ≥ n₀ sind x_{i_n} und x* Elemente von I_n₀, da x_{i_n}  ∈   I_n ⊆ I_n₀. Also gilt für alle n ≥ n₀:

|x_{i_n} − x*| ≤ b_n₀ − a_n₀ < ε.

Bemerkungen

(1)	Der Beweis benutzt wesentlich die Vollständigkeit von ℝ (in Gestalt des Intervallschachtelungsprinzips). Eine analoge Aussage ist in ℚ nicht richtig. Ist (x_n)_n ∈ ℕ eine Folge in ℚ mit lim_n x_n = $\sqrt{2}$ in ℝ, so ist (x_n)_n ∈ ℕ eine beschränkte Folge in ℚ ohne Häufungspunkt in ℚ.

(2)

Die abstrakte rekursive Konstruktion des Beweises bereitet vielen Anfängern Schwierigkeiten. Dem Leser sei geraten, sich das Argument zunächst anschaulich klar zu machen: Wir halbieren wiederholt [ −r, r ] und wählen in jedem Schritt eine Hälfte, in der sich immer noch unendlich viele Folgenglieder befinden. Weiter markieren wir in jedem der gewählten Intervalle ein Folgenglied (und zwar so, dass die Indizes der markierten Glieder streng monoton sind). Die markierten Glieder streben gegen den eindeutigen Punkt im Schnitt der Intervalle.

(3)

Die Voraussetzung der Beschränktheit ist wesentlich: Die Folge 0, 1, 2, 3, … n, … hat keinen Häufungspunkt. Die rekursive Konstruktion scheitert gleich zu Beginn: I₀ existiert nicht wie gewünscht. Umgekehrt genügt die etwas schwächere Voraussetzung „Es gibt ein r mit x_n  ∈  [ − r, r ] für unendlich viele n.“ (Beschränktheit einer Teilfolge) für die Existenz eines Häufungspunkts.

Illustration zum Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß

Als erste Anwendung des Satzes von Bolzano-Weierstraß zeigen wir:

Satz (Existenz monotoner Teilfolgen)

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ. Dann existiert eine Teilfolge von (x_n)_{n  ∈  ℕ}, die konstant, streng monoton fallend oder streng monoton steigend ist.

Beweis

Ist (x_n)_{n  ∈  ℕ} nach oben unbeschränkt, so setzen wir i₀ = 0 und definieren rekursiv

i_n + 1 = „das kleinste i > i_n mit x_i > x_{i_n}“ für alle n  ∈  ℕ.

Ein solches i existiert (sonst wäre max { x₀, …, x_{i_n} } eine obere Schranke der Folge). Nach Konstruktion ist (x_{i_n})_{n  ∈  ℕ} streng monoton steigend (und aufgrund der minimalen Wahl gilt lim_n x_n = ∞). Analog finden wir eine streng monoton fallende Teilfolge, falls (x_n)_{n  ∈  ℕ} nach unten unbeschränkt ist.

Wir nehmen also an, dass (x_n)_{n  ∈  ℕ} beschränkt ist. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert eine konvergente Teilfolge (y_n)_{n  ∈  ℕ} der Folge. Wir zeigen, dass diese Folge eine konstante oder streng monotone Teilfolge besitzt. Dies genügt (denn eine Teilfolge einer Teilfolge einer Folge ist eine Teilfolge der Folge). Wir setzen hierzu

y = lim_n y_n.

Wir unterscheiden drei Fälle.

1. Fall: y_n = y für unendlich viele n.

Dann gibt es eine Teilfolge (y_{i_n})_{n  ∈  ℕ} mit y_{i_n} = y für alle n. Diese Folge ist konstant.

2. Fall: y < y_n für unendlich viele n.

Sei i₀ derart, dass y < y_i₀. Wir definieren rekursiv:

i_n + 1 = „das kleinste i > i_n mit y < y_i < y_{i_n}“.

Ein solches i existiert, da y < y_n für unendlich viele n und lim_n y_n = y. Nach Konstruktion ist (y_{i_n})_{n  ∈  ℕ} streng monoton fallend.

3. Fall: y_n < y für unendlich viele n.

Analog zum zweiten Fall erhalten wir eine streng monoton steigende Teilfolge von (y_n)_{n  ∈  ℕ}.

Explizit halten wir fest:

Korollar (Satz von Bolzano-Weierstraß, Verstärkung)

Jede beschränkte Folge (x_n)_n ∈ ℕ in ℝ besitzt eine konvergente Teilfolge, die konstant, streng monoton fallend oder streng monoton steigend ist.