Häufungspunkte für Mengen

 Der Begriff eines Häufungspunktes ist nicht nur für Folgen, sondern auch für Mengen von Interesse. Wir definieren hierzu und für viele andere Zwecke:

Definition (ε-Umgebung eines Punktes)
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Sei x  ∈  ℝ, und sei ε > 0. Dann heißt

Uε(x)  =  { y  ∈  ℝ | |y − x| < ε }

die (offene) ε-Umgebung von x.

 In Intervallnotation ist also einfach

Uε(x)  =  ] x − ε, x + ε [.

Mit Hilfe von ε-Umgebungen definieren wir:

Definition (Häufungspunkt einer Menge)

Ein x  ∈  ℝ heißt ein Häufungspunkt von P ⊆ ℝ, falls für alle ε > 0 gilt:

Uε(x)  ∩  P  enthält mindestens einen von x verschiedenen Punkt.

 Ist x Häufungspunkt von P, so ist für alle ε > x die Menge Uε(x) ∩ P sogar unendlich, was der anschaulichen Häufung besser entspricht. Für den Nachweis, dass x ein Häufungspunkt von P ist, ist aber die Bedingung

∀ε > 0 P ∩ (Uε(x) − { x }) ≠ ∅

der Definition etwas einfacher.

Beispiele

(1)

0 ist ein Häufungspunkt von ] 0, 1 [ und von [ 0, 1 [. Häufungspunkte einer Menge können also zur Menge gehören oder nicht.

(2)

0 ist ein Häufungspunkt von { 1/n | n  ∈  ℕ* }.

(3)

Ist P endlich, so hat P keine Häufungspunkte. Weiter hat auch die unendliche Menge ℤ keine Häufungspunkte.

(4)

Jedes x  ∈  ℝ ist ein Häufungspunkt von ℚ und ein Häufungspunkt von ℝ − ℚ.

 Der Zusammenhang der Begriffe „Häufungspunkt einer Folge“ und „Häufungspunkt einer Menge“ ist eng, aber es ist etwas Vorsicht geboten. Die Zahl 1 ist zum Beispiel ein Häufungspunkt der konstanten Folge (1, 1, 1, …), nicht aber der endlichen Menge { 1 }. Andererseits kann ein P ⊆ ℝ überabzählbar sein und somit nicht als Wertebereich einer Folge (xn)n  ∈  ℕ dargestellt werden. Es gilt aber:

Satz (Häufungspunkte für Mengen und Folgen)

(a)

Sei x ein Häufungspunkt von P. Dann existiert eine injektive Folge (xn)n  ∈  ℕ in P, die x als Häufungspunkt besitzt.

(b)

Sei (xn)n  ∈  ℕ injektiv, und sei x ein Häufungspunkt von (xn)n  ∈  ℕ. Dann ist x ein Häufungspunkt von { xn | n  ∈  ℕ }.

 Hieraus oder durch Anpassung des Beweises für Folgen ergibt sich:

Satz (Satz von Bolzano-Weierstraß für Mengen)

Jede unendliche beschränkte Teilmenge von ℝ besitzt einen Häufungspunkt.

 Die Beispiele zeigen, dass man für die Gültigkeit des Satzes weder auf die Unendlichkeit noch auf die Beschränktheit der Menge verzichten kann.