3. Cauchy-Folgen

Die Konvergenzbedingung

∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − x| < ε

involviert den Grenzwert x, während die Bedingungen für monotone und pendelnde Folgen nur über die Folgenglieder xn reden. Es gibt aber auch allgemeine Konvergenzbedingungen, die den Grenzwert nicht erwähnen. Eine solche Bedingung erhalten wir, wenn wir die Anschauung präzisieren, dass sich die Glieder einer konvergenten Folge „immer weiter verdichten“.

Definition (Cauchy-Folge)

Eine Folge (xn)n  ∈  ℕ in ℝ heißt eine Cauchy-Folge, falls gilt:

∀ε > 0 ∃n0 ∀n, m ≥ n0 |xn − xm| < ε. (Cauchy-Bedingung, I)

analysis1-AbbID50

Sind n, m ≥ n0 wie in der Bedingung, so liegen alle xk mit k ≥ n0 im dunkelgrauen Intervall.

 Im Vergleich zur Konvergenzbedingung tauchen zwei statt einem Index oberhalb eines von ε abhängigen n0 auf, aber kein Grenzwert x. Die Verwendung von zwei Indizes ist oft günstig, aber es genügt auch ein Index oberhalb von n0. Denn die Cauchy-Bedingung ist, wie ein ε/2-Argument zeigt, äquivalent zu:

∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − xn0| < ε. (Cauchy-Bedingung, II)

analysis1-AbbID51

Ist n0 wie in der Bedingung II, so liegen alle xn mit n ≥ n0 in der ε-Umgebung um xn0.

Die Cauchy-Bedingung ist dagegen überraschenderweise nicht äquivalent zu

∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − xn + 1| < ε.

Ein Gegenbeispiel hierfür liefert xn = sqrt(n) für alle n (vgl. die Übungen). Es ist also wichtig, die Verdichtung nicht nur schrittweise zu fordern, sondern beliebig lange Spannweiten zuzulassen.