Der Konvergenzsatz

Es ist leicht zu sehen, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß können wir auch die Umkehrung zeigen:

Satz (Konvergenz von Cauchy-Folgen in ℝ)

Jede Cauchy-Folge in ℝ konvergiert.

Beweis

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Cauchy-Folge in ℝ. Aus der Cauchy-Bedingung folgt, dass die Folge beschränkt ist. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es also eine konvergente Teilfolge (x_{i_n})_{n  ∈  ℕ} von (x_n)_{n  ∈  ℕ}. Wir setzen

x = lim_n x_{i_n}

und zeigen:

(+) lim_n x_n = x.

Beweis von (+)

Sei ε > 0. Nach der Cauchy-Bedingung gibt es ein n₀ mit

|x_n − x_m| < ε/2 für alle n, m ≥ n₀.

Wegen x = lim_n x_{i_n} existiert ein n₁ ≥ n₀ mit

|x − x_{i_n}| < ε/2 für alle n ≥ n₁.

Die Indexfolge (i_n)_{n  ∈  ℕ} ist streng monoton steigend, sodass i_n ≥ n für alle n. Dann gilt aber für alle n ≥ n₁ nach der Dreiecksungleichung:

|x − x_n| ≤ |x − x_{i_n}| + |x_{i_n} − x_n| < ε/2 + ε/2 = ε.

Man kann den Beweis so zusammenfassen: Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß häufen sich die Folgenglieder an einem Punkt x. Die Cauchy-Bedingung zwingt dann die gesamte Folge, gegen x zu streben. Denn die x_n kommen dem x beliebig nahe, und sie tun dies in einem Indexbereich, in dem sie sich kaum mehr voneinander unterscheiden. Ein Häufungspunkt einer Cauchy-Folge ist also immer auch ihr Grenzwert.

Die Cauchy-Bedingung spielt im Reich aller Folgen also die gleiche Rolle, die die Beschränktheit im Reich der monotonen Folgen einnimmt: Sie ist hinreichend und notwendig für die Konvergenz.

Die Definition einer Cauchy-Folge und der Konvergenzsatz übertragen sich nach ℂ. Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt ja auch für komplexe Folgen, und damit ist obiger Beweis auch für ℂ geeignet. Alternativ kann man das Ergebnis für ℂ durch Betrachtung von Real- und Imaginärteil gewinnen.