Die harmonische Reihe

 Ist ∑_n x_n eine Reihe und ε > 0 derart, dass |x_n| > ε für unendlich viele n gilt, so divergiert die Reihe, da die Partialsummen der Reihe keine Cauchy-Folge bilden. Ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz von ∑_n x_n ist also, dass die Summanden eine Nullfolge bilden:

 Es stellt sich die Frage, ob dieses Kriterium auch hinreichend ist. In der Tat sind ja ∑_n ≥ 1 1/(n (n + 1)) und ∑_n xⁿ für |x| < 1 konvergente Reihen mit gegen Null strebenden Summanden. In diesen Reihen konvergieren aber die Summanden quadratisch oder sogar exponentiell schnell gegen Null. Langsamer abfallende Summanden tauchen in der folgenden Reihe auf, die zu den wichtigsten Reihen der Analysis gehört:

Anders notiert gilt

∑_n ≥ 1 ¹_n  =  1 + ¹₂ + ¹₃ + …

 Da die Summanden positiv sind, ist die Frage der Konvergenz der harmonischen Reihe gleichbedeutend zur Beschränktheit ihrer Partialsummen s_n. Diese Partialsummen wachsen sehr langsam. Eine Computerberechnung zeigt, dass die Partialsumme s₁₀₀₀₀ immer noch kleiner als 10 ist. Eine bestechend schöne Anwendung des Assoziativgesetzes zeigt:

 Die Divergenz der harmonischen Reihe war bereits im 14. Jahrhundert in der Scholastik bekannt und findet sich insbesondere bei Nikolaus von Oresme. Um 1650 wurde die Divergenz von Pietro Mengoli erneut bewiesen und popularisiert.

 Wir halten also fest, dass positive Summanden eine unendliche Summe besitzen können, obwohl sie gegen Null konvergieren. Ist man lediglich an einem Beispiel hierfür interessiert, so ist

1  +  1/2  +  1/2  +  1/4  +  1/4  +  1/4  +  1/4  +  …

noch etwas einfacher als die harmonische Reihe.

 Auch viele Ausdünnungen der harmonischen Reihe divergieren. So gilt etwa

∑_n ≥ 1 1/(2 n)  =  ∞,  ∑_n ≥ 1 1/(2 n + 1)  =  ∞.

Mit Methoden der analytischen Zahlentheorie kann man sogar zeigen, dass die Ausdünnung

∑_{p prim} 1/p  =  1/2  +  1/3  +  1/5  +  1/7  +  1/11  +  1/13  +  …

der harmonischen Reihe, in der die Nenner alle Primzahlen durchlaufen, immer noch divergiert, während die Ausdünnung

∑_{p prim und p + 2 prim} 1/p  =  1/3  +  1/5  +  1/11  +  1/17  +  1/29  +  1/41  +  …,

in der nur noch Primzahlzwillinge berücksichtigt werden, endlich ist. Dabei ist noch offen, ob es überhaupt unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Gibt es nur endlich viele, so ist die Summe trivialerweise endlich.

 Auch spielerische Varianten bergen Überraschungen. Streichen wir zum Beispiel alle Summanden 1/n der Reihe, in deren Nenner in Dezimaldarstellung die Ziffer 9 vorkommt, so erhalten wir

1/1  +  1/2  +  …  +  1/8  +  1/10  +  …  +  1/18  +  1/20   +   …   +   …

  +  1/87  +  1/88  +  1/100  +  1/101  +  …

In den Übungen werden wir sehen, dass diese Summe endlich ist.

Wachstum der harmonischen Reihe

 Die Partialsummen s_n der harmonischen Reihe sind de facto eng mit der Logarithmusfunktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ zur Basis e verwandt, die der Leser aus der Schule kennt und die wir im dritten Abschnitt diskutieren werden. Man kann zeigen, dass

γ  =  lim_n (s_n  −  log(n))

existiert. Die reelle Zahl γ heißt die Euler-Mascheroni-Konstante. (Sie wird oft auch mit C bezeichnet.) Es gilt

γ  =  0,5772156649…

Es ist offen, ob γ irrational ist.

Die harmonischen Zahlen

 Die harmonische Reihe ist so bedeutend, dass ihre Partialsummen einen eigenen Namen verdienen:

 Die Folge (h_n)_{n  ≥ 1} ist streng monoton steigend. Es gilt lim_n ≥ 1 h_n = ∞ und lim_n ≥ 1 (h_n + 1 − h_n) = 0. Wir versammeln (Beweis als Übung):

 Die zweite Eigenschaft motiviert die Namensgebung der harmonischen Reihe: Die Summen 1 + 1/2 … + 1/n tauchen im Nenner des allgemeinen harmonischen Mittels auf. Die Abschätzungen für h_2ⁿ nach oben und unten ergeben sich aus der Blockbildung wie im Beweis der Divergenz der Reihe von Oresme (und der Summen-Formel 1 + 2 + 4 + … + 2^n − 1 = 2ⁿ − 1).