Alternierende Reihen
Definition (alternierend)
Eine Reihe heißt alternierend, falls sie von der Form ∑n (−1)n xn oder ∑n (−1)n + 1 xn mit xn ≥ 0 für alle n ist.
Alternierende Reihen haben, wenn wir den ersten Summanden der Einfachheit halber als nichtnegativ annehmen, die Form
x0 − x1 + x2 − x3 + x4 − x5 ± …, mit xn ≥ 0.
Die Partialsummen sn oszillieren. Ausgehend von x0 nehmen sie um x1 ab, um x2 zu, um x3 ab usw. Fällt (xn)n ≥ 1 monoton, so ist (sn)n ∈ ℕ eine Pendelfolge:
s1 ≤ s3 ≤ s5 ≤ … ≤ s4 ≤ s2 ≤ s0.
Partialsummen sn = ∑k ≤ n (−1)n xn für monoton gegen Null konvergierende xn.
Konvergieren die xn zudem gegen Null, so erfüllt (sn)n ∈ ℕ die Konvergenzbedingung für Pendelfolgen:
infn (|sn + 1 − sn|) = infn xn = 0.
Damit erhalten wir:
Satz (Leibniz-Kriterium)
Sei (xn)n ∈ ℕ eine Nullfolge in ℝ, und (xn)n ≥ 1 sei monoton fallend.
Dann existiert x = ∑n (−1)n xn, und für alle n gilt:
(a) x ∈ [ min(sn, sn + 1), max(sn, sn + 1) ], (b) |x − sn| ≤ xn + 1.
Wir betrachten zwei Reihen, auf die das Kriterium anwendbar ist. Die erste ist:
Definition (alternierende harmonische Reihe)
Die alternierende harmonische Reihe ist die Reihe
∑n ≥ 1 (−1)n − 1n = 1 − 12 + 13 − 14 + 15 − …
Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe wurde im 17. Jahrhundert von Mengoli, Nicholas Mercator und Gregory Saint-Vincent bestimmt. Wir werden im vierten Abschnitt zeigen, dass
1 − 12 + 13 − 14 + 15 − … = log(2).
Bemerkenswerterweise steckt der Logarithmus der Zahl 2 auch in der harmonischen Reihe. In den Übungen werden wir sehen, dass
∑n ≥ 1 (−1)n − 1n = limn (1n + 1 + … + 12n).
Unsere zweite Reihe ist:
Definition (Leibniz-Reihe)
Die Leibniz-Reihe ist die Reihe
∑n ≥ 1 (−1)n − 12n − 1 = 1 − 13 + 15 − 17 ± …
Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Leibniz zeigte, dass
1 − 13 + 15 − 17 + 19 − 111 ± … = π4.
Auch dies werden wir im vierten Abschnitt beweisen.