Absolute und bedingte Konvergenz
Die alternierende harmonische Reihe und die Leibniz-Reihe zeigen, dass eine Reihe ∑n xn konvergieren kann, während ∑n |xn| divergiert. Wir definieren hierzu:
Definition (absolute und bedingte Konvergenz)
Eine Reihe ∑n xn heißt absolut konvergent, falls ∑n |xn| konvergiert. Sie heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
Aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Die alternierende harmonische Reihe und die Leibniz-Reihen konvergieren bedingt.
Der Unterschied zwischen bedingter und absoluter Konvergenz wird durch folgende Charakterisierung besonders deutlich, deren Beweis dem Leser überlassen sei:
Satz (Charakterisierung der bedingten Konvergenz)
Sei ∑n xn eine konvergente Reihe in ℝ. Dann sind äquivalent:
(a) | ∑n xn konvergiert bedingt. |
(b) | Die Summen über alle positiven und alle negativen Summanden divergieren, d. h. ∑n max(0, xn) = ∞ und ∑n min(0, xn) = −∞. |