Das Majorantenkriterium

In den folgenden Kriterien spielt die Abschätzung nach oben eine wichtige Rolle. Wir definieren:

Definition (Majorante)

Seien ∑_n x_n und ∑_n y_n Reihen in ℝ. Dann heißt ∑_n y_n eine Majorante von ∑_n x_n, falls gilt:

|x_n| ≤ y_n für alle n.

Die Mutter aller weiteren Konvergenzkriterien lautet nun:

Satz (Majorantenkriterium)

Sei ∑_n y_n eine konvergente Majorante von ∑_n x_n. Dann konvergiert ∑_n x_n absolut, und es gilt ∑_n x_n ≤ ∑_n |x_n| ≤ ∑_n y_n.

Beweis

Sei ε > 0. Dann gibt es aufgrund der Cauchy-Bedingung für Reihen ein n₀, sodass ∑_{m ≤ k ≤ n} y_k < ε für alle n ≥ m ≥ n₀ gilt. Dann ist aber

|∑_{m ≤ k ≤ n} x_k| ≤ ∑_{m ≤ k ≤ n} |x_k| ≤ ∑_{m ≤ k ≤ n} y_k < ε,

und damit folgt die Konvergenz von ∑_n x_n und ∑_n |x_n| aus der Cauchy-Bedingung für Reihen. Die Abschätzung ist klar, da

∑_k ≤ n x_k ≤ ∑_k ≤ n |x_k| ≤ ∑_k ≤ n y_k für alle n.

Als Anwendung zeigen wir:

Satz (Konvergenz der Reihe der reziproken k-ten Potenzen für k ≥ 2)

Sei k  ∈  ℕ, k ≥ 2. Dann konvergiert ∑_n ≥ 1 1/n^k, und es gilt ∑_n ≥ 1 1/n^k ≤ 2.

Beweis

Für alle n gilt 2 n² = n² + n² ≥ n² + n = n (n + 1), sodass

²_{n (n + 1)} ≥ ¹_n² für alle n ≥ 1.

Damit gilt für alle n ≥ 1:

¹_n^k ≤ ¹_n² ≤ ²_{n (n + 1)}.

Also ist die Reihe ∑_n ≥ 1 2/(n (n + 1)) eine konvergente Majorante von ∑_n ≥ 1 1/n^k. Die Summe der Majorante ist 2, woraus die Abschätzung folgt.

Die Reihen ∑_n ≥ 1 1/n^k gehören zu den faszinierendsten Objekten der Analysis. Wir werden im Ausblick auf sie zurückkommen.

Das Majorantenkriterium impliziert folgendes Divergenzkriterium:

Satz (Minorantenkriterium)

Seien ∑_n y_n, ∑_n x_n Reihen in ℝ mit y_n ≥ x_n ≥ 0 für alle n. Dann gilt:

Ist ∑_n x_n divergent, so ist auch ∑_n y_n divergent.

Wir nennen in dieser Situation ∑_n x_n eine divergente Minorante von ∑_n y_n.

Majorisierung und Minorisierung ab einer Stelle

In Anwendungen gilt die Majorisierung bzw. Minorisierung oft nicht für alle n, sondern lediglich für alle n ≥ n₀ mit einem gewissen n₀. Da ein endliches Anfangsstück das Konvergenzverhalten einer Reihe nicht verändert, bleiben das Majoranten- und Minorantenkriterium entsprechend gültig. Im Majorantenkriterium gilt nun die Abschätzung

∑_n x_n ≤ ∑_n |x_n| ≤ ∑_n < n₀ |x_n| + ∑_{n ≥ n₀} y_n.