6. Umordnungen und Produkte

Für unendliche Summen gelten viele, aber nicht alle aus dem Endlichen vertrauten Rechengesetze. Wir betrachten zunächst das Assoziativgesetz. In einer konvergenten Reihe ∑_n x_n können wir Blöcke aus endlich vielen Gliedern zusammenfassen. So gilt zum Beispiel

x₀  +  x₁  +  x₂  +  …  =  (x₀  +  x₁)  +  (x₂ + x₃ + x₄)  +  (x₅  +  x₆  +  x₇  +  x₈)  +  …

Allgemein: Ist ∑_n x_n eine konvergente Reihe und ist (i_n)_{n  ∈  ℕ} eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit i₀ = 0, so gilt

∑_n x_n  =  ∑_n (∑_{in ≤ i < in + 1} x_i).(endliche Blockbildung)

Andererseits kann eine derartige Gruppierung Konvergenz erzeugen:

 Für eine konvergente Reihe ∑_n x_n und k  ∈  ℕ gilt weiter:

∑_n x_n  =  ∑_n ≤ k x_n  +  ∑_n > k x_n

Dies entspricht einer endlich-unendlichen assoziativen Blockbildung der Form

(x₀  +  …  +  x_k)  +  (x_k + 1  +  x_k + 2  +  x_k + 3  +  … )

Weiter gilt

lim_k ∑_n > k x_n  =  0.

Die rechts abgespaltene Summe wird also beliebig klein.

 Das Assoziativgesetz gilt also innerhalb der konvergenten Reihen in weitestgehender Form. Die Gültigkeit eines allgemeinen Kommutativgesetzes für unendliche Reihe ist, ist wie wir sehen werden, komplizierter. Einfache Spezialfälle sind leicht einzusehen. So können wir zum Beispiel in einer Reihe die geraden mit den ungeraden Gliedern vertauschen, ohne das Konvergenzverhalten zu verändern. Für eine konvergente Reihe ∑_n x_n gilt (Übung):

x₀  +  x₁  +  x₂  +  x₃  +  …  +  x_2 n  +  x_2 n + 1  +  …

 =  x₁  +  x₀  +  x₃  +  x₂  +  …  +  x_2 n + 1  +  x_2 n  +  …

Dagegen werden wir gleich sehen, das bereits Vertauschungen wie

x₀  +  x₁  +  x₃  +  x₂  +  x₅  +  x₇  +  x₆  +  x₉  +  x₁₁  +  x₈  +  …

den Wert einer konvergenten Reihe verändern können. Auf einen Summanden mit geradem Index folgen die beiden nächsten unverbrauchten Summanden mit ungeradem Index. Assoziativ notiert hat diese Vertauschung die Form

∑_n (x_2n  +  x_4n + 1  +  x_4n + 3)

Weiter können wir auch auf die Idee kommen, die Summanden mit geraden und ungeraden Indizes getrennt voneinander zu summieren. Es stellt sich also die Frage, ob und wann für eine konvergente Reihe die Zerlegung

∑_n x_n  =  ∑_n x_2n  +  ∑_n x_2n + 1

gültig ist. Noch gewagter sind unendliche Doppelsummen der Form

∑_n x_n  =  ∑_m x_{f (0, m)}  +  ∑_m x_{f (1, m)}  +  ∑_m x_{f (2, m)}  +  …  =  ∑_n ∑_m x_{f (n, m)}

mit einer Bijektion f : ℕ² → ℕ wie wir sie etwa aus der Diagonalaufzählung des Gitters ℕ × ℕ erhalten.

 Derartigen Fragen wollen wir nun genauer nachgehen.