Unendliche Umordnungen

Von besonderem Interesse ist das Kommutativgesetz im Unendlichen, dessen bislang ungeklärter Status uns im vorherigen Kapitel davon abgehalten hat, das Produkt zweier Reihen wie folgt zu definieren:

(∑_n x_n) (∑_n y_n) = ∑_{n, m} x_n y_m.

Diese Definition wäre nur dann eindeutig, wenn das Ergebnis der Summation auf der rechten Seite nicht von der Reihenfolge abhängt, in der die Zahlenpaare (n, m) durchlaufen werden. In der Tat reagieren manche unendliche Summen empfindlich auf Umordnungen ihrer Summanden:

Beispiel

In der alternierenden harmonischen Reihe

∑_n ≥ 1 ^{(−1)^n − 1}_n = 1 − ¹₂ + ¹₃ − ¹₄ + …

können wir zuerst viele positive Glieder aufsummieren, dann 1/2 abziehen, dann wieder viele positive Glieder aufsummieren, dann 1/4 abziehen usw. Aufgrund der Divergenz der „halben“ harmonischen Reihen

1 + ¹₃ + ¹₅ + … und ¹₂ + ¹₄ + ¹₆ + …

können wir so eine andere Summe oder auch Divergenz erzeugen. So gilt zum Beispiel, wie wir in den Übungen zeigen werden:

(a)	1 − ¹₂ − ¹₄ + ¹₃ − ¹₆ − ¹₈ + ¹₅ − ¹₁₀ − ¹₁₂ + … = ¹₂ ∑_n ≥ 1 ^{(−1)^n − 1}_n,

(b)	1 − ¹₂ + ¹₃ + ¹₅ − ¹₄ + ¹₇ + ¹₉ + ¹₁₁ + ¹₁₃ − ¹₆ + … = ∞.

In (a) folgen stets zwei negative auf ein positives Glied, in (b) erscheint dagegen ein negatives Glied nach 1, 2, 4, 8, 16, … positiven Gliedern.

Alle Summanden der alternierenden harmonischen Reihe tauchen genau einmal auf, eines der beiden Vorzeichen wird aber bevorzugt behandelt und die Glieder mit dem anderen Vorzeichen werden verzögert in die Summation eingeflochten.

Wir definieren:

Definition (Umordnung einer Reihe)

Seien ∑_n x_n eine Reihe in ℝ und g : ℕ → ℕ bijektiv. Dann heißt ∑_n x_g(n) die durch g definierte Umordnung der Reihe ∑_n x_n.

Obige Umordnungen der alternierenden harmonischen Reihe verwenden die Divergenz der harmonischen Reihe, sodass durch eine Gruppierung von hinreichend vielen positiven oder negativen Summanden das Konvergenzverhalten verändert werden kann. Damit haben wir des Pudels Kern schon entdeckt, denn für absolut konvergente Reihen gilt der folgende grundlegende Satz:

Satz (Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)

Seien ∑_n x_n eine absolut konvergente Reihe in ℝ und g : ℕ → ℕ bijektiv. Dann konvergiert die Umordnung ∑_n x_g(n) absolut, und es gilt

∑_n x_g(n) = ∑_n x_n.

Beweis

Wir setzen

s_n = ∑_k ≤ n x_k, t_n = ∑_k ≤ n x_g(k) für alle n

und zeigen:

(+) lim_n | s_n − t_n | = 0.

Damit ist

∑_n x_g(n) = lim_n t_n = lim_n s_n = ∑_n x_n.

Die Konvergenz von ∑_n |x_g(n)| ergibt sich durch Anwendung des gleichen Arguments auf die Reihe ∑_n |x_n|. Zum Beweis von (+) sei ε > 0. Da die Reihe ∑_n |x_n| konvergiert, gibt es ein n₀ mit

∑_k > n₀ |x_k| < ε.

Da g surjektiv ist, gibt es ein n₁ ≥ n₀ mit { 0, …, n₀ } ⊆ { g(0), …, g(n₁) }. Sei nun n ≥ n₁ beliebig. Dann gilt

D = { 0, …, n } Δ { g(0), …, g(n) } ⊆ { n | n > n₀ }

(mit der symmetrischen Differenz A Δ B = (A − B) ∪ (B − A) zweier Mengen A und B). Aufgrund der Injektivität von g gilt:

\|s_n − t_n\|	= \|∑_k ≤ n (x_k − x_g(k))\| ≤ ∑_k ≤ n \|x_k − x_g(k)\|
	= ∑_{m  ∈  D} \|x_m\| ≤ ∑_k > n₀ \|x_k\| < ε.

Der Beweis lässt sich als „Einholargument“ beschreiben: In der umgeordneten Reihe erscheinen irgendwann (ab n₁) die ersten n₀ Summanden. Mindestens diese Summenden heben sich in s_n − t_n gegenseitig auf.

Es gilt folgendes Gegenstück, das wir in den Übungen diskutieren:

Satz (Umordnungen bedingt konvergenter Reihen)

Sei ∑_n x_n eine bedingt konvergente Reihe in ℝ. Dann gibt es eine divergente Umordnung der Reihe. Weiter gibt es für jedes s  ∈  ℝ = ℝ ∪ { −∞, ∞ } eine Umordnung der Reihe, die gegen s konvergiert.

Für konvergente Reihen ist also die absolute Konvergenz gleichbedeutend mit einem „unendlichen Kommutativgesetz“. Bei bedingter Konvergenz kann durch Umordnung dagegen jeder Wert in ℝ erreicht werden.

Mit Hilfe des Umordnungssatzes können wir unendliche Summen über abzählbare Familien definieren:

Definition (Summen über abzählbar unendliche Familien)

Sei I eine abzählbar unendliche Menge, und sei (x_i)_{i  ∈  I} eine I-Folge in ℝ. Weiter sei g : ℕ → I bijektiv, und die Reihe ∑_n x_g(n) sei absolut konvergent. Dann setzen wir

∑_{i  ∈  I} x_i = ∑_n x_g(n)

und nennen ∑_{i  ∈  I} x_i konvergent und die reelle Zahl ∑_n x_g(n) die Summe der Familie (x_i)_{i  ∈  I} oder den Wert der zugehörigen Reihe.

Der Umordnungssatz zeigt, dass der Wert von ∑_{i  ∈  I} x_i nicht von der Wahl der Aufzählung g(0), g(1), …, g(n), … von I abhängt. Mit ∑_{i  ∈  I} x_i konvergiert nach Definition immer auch ∑_{i  ∈  I} |x_i|. Die Konvergenz von ∑_{n  ∈  ℕ} x_n als ℕ-Reihe ist äquivalent zur absoluten Konvergenz von ∑_n x_n im bisherigen Sinn. Die Indexmenge I ist im Allgemeinen nicht mit einer Ordnung versehen.

Wir verwenden suggestive Varianten der Notation. So bedeutet zum Beispiel ∑_{n, m} x_{n, m} die Summe über eine Familie (x_i)_{i  ∈  ℕ²}. Ein Ausdruck

s = ∑_{n, m} x_{n, m} bedeutet s = x_g(0) + … + x_g(n) + …,

wobei g(0), g(1), …, g(n), … beliebig-bijektiv alle Paare (n, m)  ∈  ℕ² durchläuft. Konkrete Aufzählungen von ℕ² werden wir gleich betrachten.

Uneigentliche Konvergenz für abzählbare Familien

Für eine abzählbar unendliche Folge (x_i)_{i  ∈  I} in ℝ schreiben wir

∑_{i  ∈  I} x_i = ∞ bzw. ∑_{i  ∈  I} x_i = −∞,

falls für jede Bijektion g : ℕ → I gilt, dass

∑_n x_g(n) = ∞ bzw. ∑_n x_g(n) = −∞.

Damit ist die Summe ∑_{i  ∈  I} x_i ≤ ∞ stets definiert, wenn (x_i)_{i  ∈  I} eine abzählbare Folge ist, deren negative Glieder eine endliche Summe haben, d. h. ∑_{i  ∈  I, x_i < 0} x_i ist konvergent. Analoges gilt für −∞.

Supremum endlicher Teilsummen

Sei x_i ≥ 0 für alle i  ∈  I. Dann gilt:

∑_{i  ∈  I} x_i = sup_{E ⊆ I, E endlich} ∑_{i  ∈  E} x_i ≤ ∞.

Für I = ℕ und x_n ≥ 0 gilt wie schon bisher

∑_{n  ∈  ℕ} x_n = sup_n s_n ≤ ∞,

da jede endliche Menge E natürlicher Zahlen in einem Anfangsstück der Form { 0, …, n } enthalten ist.