Das Cauchy-Produkt

 Wir haben gesehen, dass für absolut konvergente Reihen ∑n xn und ∑n yn jede Summation aller Produktterme xn ym das gleiche Resultat liefert, nämlich das Produkt der Werte der beiden Reihen. Für die Rechteck-Aufzählung gilt das Ergebnis auch für bedingt konvergente Reihen. Die neben der Rechteck-Aufzählung vielleicht populärste Möglichkeit, alle Paare (n, m) natürlicher Zahlen zu durchlaufen, besteht darin, die Diagonalen eines (ℕ × ℕ)-Gitters aneinanderzureihen.

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Wir erhalten dadurch die Diagonal-Aufzählung

(0, 0),  (0, 1),  (1, 0),  (0, 2),  (1, 1),  (2, 0),  (0, 3),  (1, 2),  (2, 1),  (3, 0),  …

von ℕ2. Die endlichen Diagonalen sind gegeben durch

D(0)  =  { (0, 0) },  D(1)  =  { (0, 1),  (1, 0) }

D(2)  =  { (0, 2),  (1, 1),  (2, 0) },  D(3)  =  { (0, 3),  (1, 2),  (2, 1),  (3, 0) }, 

…

D(n)  =  { (i, j) | i + j = n }  =  { (i, n − i } | i = 0, … n }

Summieren wir nun eine Familie (xi yj)(i, j)  ∈  ℕ2 entlang der Diagonalen auf, so erhalten wir:

Definition (Cauchy-Produkt oder Diagonal-Produkt von Reihen)

Seien (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ Reihen in ℝ. Dann heißt die Reihe ∑n dn mit

dn  =  ∑i ≤ n xi yn − i  für alle n

das Cauchy- oder Diagonal-Produkt von (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ.

 Der Produktsatz (und endliche Blockbildung) zeigt:

Korollar (Konvergenz des Cauchy-Produkts)

Sind ∑n xn und ∑n yn absolut konvergent, so konvergiert das Cauchy-Produkt ∑n dn der Reihen absolut, und es gilt

∑n dn  =  ∑n xn · ∑n yn.

 Bei einem Diagonal-Produkt kann die absolute Konvergenz im Gegensatz zu einem Rechteck-Produkt nicht ersatzlos zur Konvergenz abgeschwächt werden (vgl. die Übungen).

 Das Cauchy-Produkt ermöglicht einen einfachen Beweis des Additionstheorems der Exponentialreihe, die wir im folgenden Kapitel kennenlernen werden.

Das Cauchy-Produkt ab dem Index Eins

Das Cauchy-Produkt kann analog für Reihen ∑n ≥ 1 xn und ∑n ≥ 1 yn mit dem Gitter (ℕ*)2 eingeführt werden. Mit Diagonalen ab 1 gilt

D(1)  =  { (1, 1) },  D(2)  =  { (1, 2), (2, 1) },  und allgemein

D(n)  =  { (i, j) | i + j = n + 1 }  =  { (i, n  + 1 − i } | i = 1, … n }  für n ≥ 1.

Das Diagonal-Produkt hat nun die Form

∑n ≥ 1 dn  mit  dn  =  ∑1 ≤ i ≤ n xi yn + 1 − i  für alle n ≥ 1.