Ausblick: Allgemeine Doppelsummen

Bislang haben wir nur doppelt indiziert Summen ∑_{n, m} x_{n, m} betrachtet, in denen die Summanden x_{n, m} die Produktform x_n y_n besaßen. Nun wollen wir beliebige Summanden x_{n, m} zulassen und der Frage nach der Existenz von

s = ∑_{n, m} x_{n, m}

in der oben diskutierten Bedeutung nachgehen. Dabei lassen wir auch zwei neue Aufzählungen von ℕ² zu, die ℕ² zeilen- bzw. spaltenweise durchlaufen:

Bei diesen Aufzählungen bilden wir also unendlich viele unendliche Zwischensummen der Form

∑_n x_{n, m} für ein festes m bzw. ∑_m x_{n, m} für ein festes n,

und unsere Summen haben insgesamt die Form

∑_m ∑_n x_{n, m} bzw. ∑_n ∑_m x_{n, m}.

Haben die Summanden x_{n, m} die Produktform x_n y_m, so sind diese Zwischensummen nicht besonders aufregend, da sich dann y_m bzw. x_n aus der Summe herausziehen lässt. Im allgemeinen Fall sind derartige sektionsweise gebildeten Summen jedoch komplizierter. Sie sind die diskrete Version einer Methode, mit der wir in der „Analysis 2“ mehrdimensionale Integrale berechnen werden.

Die beiden folgenden Sätze erweitern unsere Resultate auf den neuen Rahmen. Wir beginnen mit dem Fall nichtnegativer Summanden.

Satz (Summationssatz für nichtnegative Summanden)

Sei (x_{n, m})_{n, m  ∈  ℕ} eine ℕ²-Folge in [ 0, ∞ [. Seien

s_n = sup_{i, j ≤ n} x_{i, j} für alle n, s = sup_n s_n ≤ ∞.

Dann gilt

∑_{n, m} x_{n, m} = ∑_n ∑_m x_{n, m} = ∑_m ∑_n x_{n, m} = s.

Beweis

Sei g : ℕ → ℕ² bijektiv. Für alle k sei

c_k = ∑_i ≤ k x_g(i).

Für alle k gilt c_k ≤ s_n, falls { g(0), …, g(k) } ⊆ A(n) = { 0, …, n }², und für alle n gilt s_n ≤ c_k, falls A(n) ⊆ { g(0), …, g(k) }. Damit ist

∑_k g(k) = sup_k c_k = sup_n s_n = s.

Dies zeigt, dass ∑_{n, m} x_{n, m} = s.

Für die anderen Summen seien

s_{n, m} = ∑_{i ≤ n, j ≤ m} x_{i, j} = ∑_i ≤ n ∑_j ≤ m x_{i, j} = ∑_j ≤ m ∑_i ≤ n x_{i, j} für alle n, m.

Dann gilt

s_n ≤ ∑_i ≤ n ∑_m x_{i, m} = sup_m s_{n, m} ≤ sup_m s_m = s für alle n,

s_m ≤ ∑_j ≤ m ∑_n x_{n, j} = sup_n s_{n, m} ≤ sup_n s_n = s für alle m.

Damit ist ∑_n ∑_m x_{n, m} = ∑_m ∑_n x_{n, m} = s.

Analoges gilt für Summanden x_{n, m} ≤ 0. Für beliebige Summanden gilt:

Satz (Summationssatz für reelle Summanden)

Sei (x_{n, m})_{n, m  ∈  ℕ} eine ℕ²-Folge in ℝ derart, dass

t = sup_n t_n < ∞, wobei t_n = ∑_{i, j ≤ n} |x_{i, j}| für alle n.

Dann konvergiert ∑_n, m x_{n, m}. Weiter gilt |∑_{n, m} x_{n, m}| ≤ t und

∑_{n, m} x_{n, m} = ∑_n ∑_m x_{n, m} = ∑_m ∑_n x_{n, m}.

Beweis

Wir zerlegen die Folge in zwei Folgen und verwenden den obigen Summationssatz. Hierzu setzen wir:

u_{n, m} = max(0, x_{n, m}) ≥ 0, v_{n, m} = − min(0, x_{n, m}) ≥ 0 für alle n, m,

s = ∑_{n, m} u_{n, m}, s′ = ∑_{n, m} v_{n, m}.

Dann gilt s + s′ = t. Ist g : ℕ → ℕ² bijektiv, so gilt

∑_k x_g(k) = ∑_k (u_g(k) − v_g(k)) = ∑_k u_g(k) − ∑_k v_g(k) = s − s′

= ∑_n ∑_m u_{n, m} − ∑_n ∑_m v_{n, m} = ∑_n ∑_m (u_{n, m} − v_{n, m}) = ∑_n ∑_m x_n, m.

Analoges gilt für ∑_m ∑_n x_{n, m}.

Unser Produktsatz für absolut konvergente Reihen ist ein Spezialfall dieses Satzes: Sind ∑_n x_n und ∑_n y_n absolut konvergente Reihen, so sei x_{n, m} = x_n y_m für alle n, m. Dann gilt

t = (∑_n |x_n|) (∑_m |y_m|) < ∞.

Nach dem Satz gilt also

∑_n, m x_n y_m = ∑_m ∑_n x_n y_m = ∑_m (y_m ∑_n x_n) = (∑_n x_n) (∑_m y_m).

Beispiel

Für den zweiten Summationssatz ist es nicht ausreichend, dass ∑_{n, m} x_{n, m} zeilen- und spaltenweise aus absolut konvergenten Reihen besteht. Ein Gegenbeispiel liefert

x_{n, n} = ^(−1)ⁿ_n + 1 für alle n, x_{n, m} = 0 für alle n ≠ m.

…	…	…	…	…	…
0	0	0	0	¹₅	…
0	0	0	− ¹₄	0	…
0	0	¹₃	0	0	…
0	− ¹₂	0	0	0	…
1	0	0	0	0	…

Man kann nun auch noch Summen ∑_{n, m} x_{n, m} betrachten, bei denen die negativen Summanden in ihrer Summe beschränkt, die positiven in ihrer Summe auch unendlich sein können. Anstatt hier weitere Sätze zu formulieren, halten wir zusammenfassend fest:

Reelle Zahlen x_{n, m} können in beliebiger Art und Weise zu

∑_{n, m} x_{n, m}  ∈  ℝ ∪ { − ∞, ∞ } aufsummiert werden,

falls dabei keine Ausdrücke der Form ∞ − ∞ entstehen können.