Die Stetigkeit der Exponentialfunktion

Der Nachweis der Stetigkeit rationaler Funktionen wurde von den Limesregeln für Folgen getragen. Für die über eine unendliche Reihe definierte Exponentialfunktion ist der Nachweis schwieriger, denn die Limesregeln erlauben es nicht unmittelbar, den Grenzwert in eine unendliche Reihe hineinzuziehen. Dass

lim_n exp(x_n) = lim_n ∑_k ^{x_n^k}_k! = ∑_k lim_n ^{x_n^k}_k! = ∑_k ^{p^k}_k! = exp(p)

für jede gegen ein p konvergente Folge (x_n)_n ∈ ℕ gilt, ist beim zweiten Gleichheitszeichen keineswegs klar. Dennoch ist die Aussage richtig:

Satz (Stetigkeit der Exponentialfunktion)

Die Funktion exp : ℝ → ℝ ist stetig.

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass die Exponentialfunktion stetig im Nullpunkt ist:

(+) Für jede Nullfolge (x_n)_n ∈ ℕ in ℝ gilt lim_n exp(x_n) = exp(0) = 1.

Beweis von (+)

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Nullfolge in ℝ. Dann gibt es ein n₀, sodass |x_n| ≤ 1 für alle n ≥ n₀. Dann gilt für jedes n ≥ n₀ nach der Restgliedabschätzung:

|exp(x_n) − 1| = | ∑_k ≥ 1 $\frac{x_{n}^{k}}{k!}$ | ≤ ^{2 |x_n|¹}_1! = 2|x_n|.

(Denn es gilt 2|x_n| − 1 ≤ 2 − 1 = 1 für alle n ≥ n₀.) Damit gilt

lim_n|exp(x_n) − 1| ≤ 2 lim_n |x_n| = 0.

Sei nun p  ∈  ℝ beliebig, und sei (y_n)_n ∈ ℕ eine gegen p konvergente Folge.

Wir setzen x_n = y_n − p für alle n. Dann ist (x_n)_n ∈ ℕ eine Nullfolge. Nach dem Additionstheorem und (+) gilt also:

lim_n exp(y_n)	= lim_n exp(p + x_n) = lim_n (exp(p) exp(x_n))
	= exp(p) lim_n exp(x_n) = exp(p) 1 = exp(p).

Erneut ist es also das Additionstheorem, das die Untersuchung der Exponentialfunktion erleichtert. Die Stetigkeit im Nullpunkt genügt für die Stetigkeit.

Das Argument lässt sich variieren. Ist zum Beispiel f : ℝ → ℝ eine im Nullpunkt stetige Funktion mit f(x + y) = f (x) + f (y) für alle x, y  ∈  ℝ, so ist f stetig. Denn wegen f (0) = f(0 + 0) = f (0) + f (0) ist f (0) = 0, und wie im Beweis oben folgt hieraus die Stetigkeit in allen Punkten p.