Grenzwerte für Funktionen

Unsere anschauliche Formulierung der Stetigkeit von f im Punkt p lautete:

Nähern wir uns dem Punkt p in beliebiger Weise an, so nähern sich die

dieser Annäherung entsprechenden Funktionswerte dem Funktionswert f (p) an.

Diese Formulierung haben wir formal umgesetzt als:

(+)	Für alle gegen p konvergenten Folgen (x_n)_n ∈ ℕ in P gilt:
	lim_n x_n = p impliziert lim_n f (x_n) = f (p).

Nachdem wir mit dieser Limesdefinition der Stetigkeit nun vertraut sind, wollen wir noch eine suggestive Notation einführen. Statt (+) schreiben wir:

„lim_x → p f (x) = f (p)“ oder „f (x) → f (p) für x → p“.

Wir wollen diese neue Notation und einige nützliche Varianten nun noch genau erklären. Hierzu sei f : P → ℝ eine Funktion. Weiter sei p  ∈  ℝ ein Punkt derart, dass mindestens eine Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} in P existiert, die gegen p konvergiert. Diese Bedingung ist trivialerweise durch (p)_{n  ∈  ℕ} erfüllt, wenn p ein Element von P ist, aber sie gilt zum Beispiel auch für P = ] 0, 1 ] und p = 0. In dieser Situation führen wir für alle y  ∈  ℝ = ℝ ∪ { ± ∞ } und alle Teilmengen Q von P, für die immer noch eine Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} in Q mit lim_n x_n = p existiert, die folgenden Notationen ein:

lim_x → p f (x) = y	bedeutet	für alle gegen p konvergenten Folgen (x_n)_{n  ∈  ℕ} in P gilt lim_n f (x_n) = y
lim_{x → p, x  ∈  Q} f (x) = y	bedeutet	für alle gegen p konvergenten Folgen (x_n)_{n  ∈  ℕ} in Q gilt lim_n f (x_n) = y
lim_{x → p, x ≠ p} f (x) = y	bedeutet	lim_{x → p, x  ∈  P − { p }} f (x) = y
lim_x ↓ p f (x) = y	bedeutet	lim_{x → p, x  ∈  P ∩ ] p, ∞ [} f (x) = y
lim_x ↑ p f (x) = y	bedeutet	lim_{x → p, x  ∈  P ∩ ] −∞, p [} f (x) = y
lim_x → ∞ f (x) = y	bedeutet	P ist nach oben unbeschränkt und für alle uneigentlich gegen ∞ konvergenten Folgen (x_n)_{n  ∈  ℕ} in P gilt lim_n f (x_n) = y
lim_{x → −∞} f (x) = y	bedeutet	P ist nach unten unbeschränkt und für alle uneigentlich gegen −∞ konvergenten Folgen (x_n)_{n  ∈  ℕ} in P gilt lim_n f (x_n) = y

Damit können wir nun den Grenzwert einer Funktion unter einer bestimmten Annäherungsbedingung definieren:

Definition (Grenzwert einer Funktion, Streben gegen einen Wert)

Gilt lim_{x → p, x  ∈  Q} f (x) = y, so sagen wir, dass f gegen y strebt, wenn x in Q gegen p strebt, oder dass f bei Annäherung an p in Q gegen y strebt. Wir nennen dann y auch den Grenzwert von f im Punkt oder an der Stelle p bei Annäherung an p in Q.

Gilt lim_x ↑ p f (x) = y, so heißt y der linksseitige Grenzwert von f im Punkt p. Analog heißt y der rechtsseitige Grenzwert von f in p, falls lim_x ↓ p f (x) = y.

Wir betrachten einige Beispiele.

Beispiele

(1)	Für die Sprungfunktion f : ℝ* → ℝ mit f (x) = 0 für x < 0 und f (x) = 1 für x > 0 gilt lim_x ↓ 0 f (x) = 1, lim_x ↑ 0 f (x) = 0.

(2)	lim_x → ∞ x² = lim_{x → −∞} x² = ∞, lim_{x → − ∞} x³ = − ∞.

(3)	lim_x ↓ 0 1/x = ∞, lim_x ↑ 0 1/x = − ∞.

(4)	lim_{x → 0, x ≠ 0} 1/x existiert nicht.

lim_x ↓ 0 f (x) = 0

lim_x ↑ 0 f (x) = − ∞

lim_x → 0 f (x) existiert nicht

lim_x ↓ 1 g(x) = 1

lim_x ↑ 1 g(x) = 1

lim_{x → 1, x ≠ 1} g(x) = 1

lim_x → 1 g(x) existiert nicht

(vgl. auch die Bemerkung auf der nächsten Seite)

Gilt lim_x → p f (x) = y für einen Punkt p des Definitionsbereichs von f, so ist y = f (p), denn die konstante Folge (p)_{n  ∈  ℕ} ist in diesem Fall eine gegen p konvergente Folge in P. Damit gilt:

Satz (Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a)	f ist stetig in p.

(b)	lim_x → p f (x) existiert.

(c)	lim_x → p f (x) = f (p).

Bemerkung

Ist p  ∈  P, so ist in unserer Definition in „x → p“ der Punkt p bei der Annäherung zugelassen. Weit verbreitet ist auch die Konvention, in „x → p“ nur Folgen (x_n)_{n  ∈  ℕ} im punktierten Definitionsbereich P − { p } zuzulassen. Bei dieser Konvention ist ein Ausdruck „lim_x → p f (x) = y“ also gleichwertig mit unserer Notation „lim_{x → p, x ≠ p} f (x) = y“. Der Satz ist nicht mehr gültig, denn aus der Existenz des Limes folgt bei der zweiten Konvention nicht mehr automatisch seine Übereinstimmung mit f (p).

Unter beiden Konventionen gilt dagegen (Übung):

Satz (Stetigkeit durch links- und rechtsseitige Grenzwerte)

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ. Weiter sei p  ∈  I, und p sei kein Randpunkt von I. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a)	f ist stetig in p.

(b)	lim_x ↑ p f (x) = lim_x ↓ p f (x) = f (p).

Analoge Äquivalenzen mit einseitigen Grenzwerten gelten für die Randpunkte eines Definitionsintervalls I.

Den Satz über stetige Einpunktfortsetzungen können wir nun so angeben:

Satz (stetige Einpunktfortsetzungen)

Ist f : P → ℝ stetig und sind p*  ∉  P und y  ∈  ℝ derart, dass

y = lim_x → p* f (x),

so lässt sich die Funktion f durch „f (p*) = y“ eindeutig auf P ∪ { p* } stetig fortsetzen.

Der Leser beachte, dass die Gültigkeit von y = lim_x → p* f (x) beinhaltet, dass es eine Folge in P gibt, die gegen p* konvergiert. Wegen p*  ∉  P ist p* ein Häufungspunkt von P und die stetige Fortsetzung also eindeutig.