Der Satz von Heine über gleichmäßige Stetigkeit
Als weiteres Beispiel für die Güte kompakter Intervalle zeigen wir, dass stetige Funktionen auf kompakten Intervallen automatisch gleichmäßig stetig sind.
Satz (gleichmäßige Stetigkeit, Satz von Heine)
Sei f : [ a, b ] → ℝ stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig.
Beweis
Annahme nicht. Dann gibt es ein ε > 0 derart, dass gilt:
∀δ > 0 ∃x, x′ ∈ [ a, b ] (|x − x′| < δ ∧ |f (x) − f (x′)| ≥ ε).
Für alle n ∈ ℕ existieren also xn, x′n ∈ [ a, b ] mit
|xn − x′n| < 1/2n und |f (xn) − f (x′n)| ≥ ε.
Durch Übergang zu einer nach Bolzano-Weierstraß existierenden Teilfolge können wir ohne Einschränkung annehmen, dass die Folge (xn)n ∈ ℕ gegen ein p ∈ [ a, b ] konvergiert. Wegen |x′n − xn| < 1/2n für alle n konvergiert auch (x′n)n ∈ ℕ gegen p. Dann ist aber
0 = f (p) − f (p) = f(limn xn) − f(limn x′n) = limn (f (xn) − f (x′n)),
im Widerspruch zu |f (xn) − f (x′n)| ≥ ε für alle n.
Dagegen sind stetige Funktionen auf offenen Intervallen ] a, b [ im Allgemeinen nicht mehr gleichmäßig stetig. Jede unbeschränkte Funktion liefert ein Gegenbeispiel, denn eine gleichmäßig stetige Funktion auf einem beschränkten Definitionsbereich ist stets beschränkt (vgl. die Übungen im letzten Kapitel).