Der natürliche Logarithmus
Als streng monoton steigende Funktion besitzt die Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion. Ihr Definitionsbereich ist der Wertebereich von exp, also das Intervall ] 0, ∞ [. Wir definieren:
Definition (natürlicher Logarithmus)
Die Umkehrfunktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ der Exponentialfunktion heißt der natürliche Logarithmus oder der Logarithmus zur Basis e.
Neben „log“ wird häufig auch die Bezeichnung „ln“ verwendet, die durch den lateinischen Namen „logarithmus naturalis“ motiviert ist.
Die obigen Eigenschaften der Exponentialfunktion entsprechen den folgenden Eigenschaften des Logarithmus:
Satz (Eigenschaften des natürlichen Logarithmus)
Für die Funktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ gilt:
(a) | log ist stetig und streng monoton steigend. |
(b) | log(x y) = log(x) + log(y) für alle x, y > 0. (Multiplikationstheorem) |
(c) | Der Wertebereich von log ist ℝ. Dabei gilt: log(x) < 0 für alle x ∈ ] 0, 1 [, log(1) = 0, log(x) > 0 für alle x > 1. |
(d) | limx → 0, x ≠ 0 log(1 + x)/x = 1. |
(e) | limx → ∞ log(x)/k = 0, und limx → ∞ k/log(x) = ∞ für alle k ∈ ℕ. |
Beweis
zu (a): Die Stetigkeit und strenge Monotonie folgen aus dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion.
zu (b): Seien x, y > 0. Dann gilt:
exp(log(x) + log(y)) = exp(log(x)) · exp(log(y)) = x · y.
Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten liefert
log(x) + log(y) = log(x y).
zu (c): Der Wertebereich von log ist der Definitionsbereich von exp und damit gleich ℝ. Die Verlaufseigenschaften folgen aus den entsprechenden Eigenschaften für exp.
zu (d): Sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ] − 1, ∞ [ − { 0 } mit limn xn = 0. Wegen log(1) = 0 und der Stetigkeit von log an der Stelle 1 gilt
limn log(1 + xn) = 0.
Mit dem Grenzwert
limx → 0, x ≠ 0 xexp(x) − 1 = 1
ergibt sich
limn log(1 + xn)xn = limn log(1 + xn)exp(log(1 + xn)) − 1 = 1.
zu (e): Folgt aus Eigenschaft (e) für die Exponentialfunktion.
Aus der Reihendarstellung exp(x) = ∑n xn/n! lässt sich keine Reihendarstellung für den Logarithmus ablesen. Eine solche werden wir in Abschnitt 4 mit Hilfe von Differentiation gewinnen.
Aus dem Multiplikationstheorem für den Logarithmus fließen die folgenden leicht zu beweisenden Eigenschaften:
Korollar (Folgerungen aus dem Multiplikationstheorem)
Für alle x, y > 0 und alle n ∈ ℤ, m ∈ ℕ, m ≠ 0 gilt:
(a) | log(x/y) = log(x) − log(y), |
(b) | log(m) = (n/m) · log(x). |
Speziell gilt also für alle x > 0 und alle n ∈ ℤ:
log(1/x) = − log(x) und log(xn) = n log(x).