Die Limesdarstellung der Exponentialfunktion
Als Anwendung der Limeseigenschaft (d) beweisen wir die folgende fundamentale Darstellung der Exponentialfunktion:
Satz (Limesdarstellung von ex)
xn = 1, x = 1,
yn = (1 + 1n)n
Sei (xn)n ≥ 1 eine gegen x konvergente Folge in ℝ. Dann gilt:
ex = limn ≥ 1
Insbesondere ist
ex = limn ≥ 1
Beweis
Wir zeigen die Aussage zuerst für Folgen (xn)n ∈ ℕ mit xn ≠ 0 für alle n ≥ 1.
Ohne Einschränkung sei xn/n ∈ ] −1, ∞ [ für alle n ≥ 1. Nach (d) gilt:
| x | = (limn ≥ 1 xn) · 1 = limn ≥ 1 xn · limn ≥ 1 log(1 + xn/n)xn/n |
| = limn ≥ 1 n log(1 + xn/n) = limn ≥ 1 log((1 + xn/n)n). |
Also ist
exp(x) = limn ≥ 1 exp(log((1 + xn/n)n)) = limn ≥ 1 (1 + xn/n)n.
Wir behandeln schließlich noch Folgen, deren Glieder Null sein können.
Ist x ≠ 0, so ist die Annahme „xn ≠ 0 für alle n ≥ 1“ keine Einschränkung.
Ist x = 0 und xn = 0 für alle n ≥ n0, so ist die Aussage trivial. Andernfalls gilt aber limn ≥ 1, xn ≠ 0 (1 + xn/n)n = e0 = 1 nach dem Gezeigten, und wegen (1 + 0/n)n = 1 gilt dann auch limn ≥ 1 (1 + xn/n)n = 1 = e0.
Einige Approximationen fn : ℝ → ℝ mit fn(x) = (1 + x/n)n für alle x.
Die Folge ((1 + x/n)n)n ≥ 1 lässt sich in einem alternativen Aufbau der Theorie zur Definition der Exponentialfunktion verwenden. Motivieren können wir das Interesse an dieser Folge durch die Frage der Modellierung einer „stetigen Verzinsung“, die wir in den Ergänzungen E9 behandeln. Mit elementaren Methoden lässt sich zeigen, dass
limn ≥ 1
für alle gegen x konvergenten Folgen (xn)n ∈ ℕ gilt. Damit steht die Reihendarstellung zur Verfügung, die wir zur Definition verwendet haben. Viele Eigenschaften der Exponentialfunktion lassen sich aber auch direkt aus der Limesdarstellung herleiten. Ein wichtiges Beispiel ist:
Zweiter Beweis des Additionstheorems
Für alle x, y ∈ ℝ gilt:
limn ≥ 1 (x + y + x yn) = x + y.
Damit erhalten wir:
| ex · ey | = limn ≥ 1 (1 + xn)n · (1 + yn)n |
| = limn ≥ 1 (1 + x + y + x y/nn)n | |
| = ex + y. |