Der Logarithmus zu einer positiven Basis
Für jede von 1 verschiedene positive Basis a ist die Funktion expa injektiv und besitzt eine auf ihrem Wertebereich ] 0, ∞ [ definierte Umkehrfunktion:
Definition (Logarithmus zu einer positiven Basis a ≠ 1)
Sei a > 0, a ≠ 1. Dann heißt die Umkehrfunktion loga : ] 0, ∞ [ → ℝ der Exponentialfunktion expa : ℝ → ℝ der Logarithmus zur Basis a.
Die Eigenschaftsliste für die Funktionen loga ist die übliche. Weiter gelten einige bemerkenswerte Rechenregeln, deren Beweis wir dem Leser überlassen:
Satz (Logarithmen zu verschiedenen Basen)
Seien a, b > 0, a, b ≠ 1. Dann gilt für alle x > 0:
(a) | loga(x) = logb(x)logb(a) = log(x)log(a), |
(b) | loga(b) logb(a) = 1, |
(c) | loga(x)c = logac(x) für alle c ≠ 0, |
(d) | loga(x) = − log1/a(x). |