Potenzfunktionen mit reellem Exponenten
Wir haben ax = expa(x) als Funktion im Exponenten x zu einer gegebenen positiven Basis a betrachtet. Umgekehrt können wir einen reellen Exponenten b vorgeben und die Potenzbildung xb als Funktion in x betrachten. Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist ] 0, ∞ [, wobei für manche Exponenten ein größerer Definitionsbereich möglich ist, etwa:
ℝ für b = 0, 1, 2, …; ℝ − { 0 } für b = − 1, − 2, − 3, …; ℝ für b = 1/3, 1/5, 1/7, …
Definition (Potenzfunktionen)
Für alle b ∈ ℝ definieren wir potb : ] 0, ∞ [ → ℝ durch
potb(x) = xb für alle x > 0.
Wegen xb = eb log(x) = (eb)log(x) = expeb(log(x)) gilt
potb = expa ∘ log, wobei a = eb.
Potenzfunktionen sind also Exponentialfunktionen mit einem vorgeschalteten Logarithmus. Weiter gilt:
Satz (Eigenschaften der Potenzfunktionen)
Sei b ∈ ℝ. Dann gilt für die Funktion potb : ] 0, ∞ [ → ℝ:
(a) | potb ist stetig, potb ist streng monoton steigend für b > 0 und streng monoton fallend für b < 0, pot0 ist konstant gleich 1. |
(b) | potb(x) potb(y) = potb(x y) für alle x, y > 0. |
(c) | Der Wertebereich von potb ist ] 0, ∞ [, falls b ≠ 0, und { 1 }, falls b = 0. Dabei gilt: 0 < potb(x) < 1 für 0 < x < 1, potb(x) > 1 für x > 1, falls b > 0, potb(x) > 1 für 0 < x < 1, 0 < potb(x) < 1 für x > 1, falls b < 0. |
(d) | limx → ∞ xb = ∞, limx ↓ 0 xb = 0, falls b > 0, limx → ∞ xb = 0, limx ↓ 0 xb = ∞, falls b < 0, limx → ∞ ex/xb = ∞, limx → ∞ xb/ex = 0, limx → ∞ log(x)/xb = 0, limx ↓ 0 log(x) xb = 0, falls b > 0, limx → ∞ log(x)/xb = ∞, limx ↓ 0 log(x) xb = − ∞, falls b < 0. |
Beweis
Wir zeigen, dass limx ↓ 0 log(x) xb = 0 für b > 0. Die anderen Aussagen sind einfach zu beweisen. Wegen
limy → ∞ log(y)yb = 0 für b > 0
gilt
limx ↓ 0 log(x) xb = limx ↓ 0 −log(1/x)(1/x)b = 0.
Stetige Fortsetzung im Nullpunkt
Nach (d) können wir für b > 0 die Potenzfunktion potb durch
potb(0) = 0
stetig nach [ 0, ∞ [ fortsetzen. Gleiches gilt für pot0 durch „pot0(0) = 1“. Dagegen ist potb(0) für negative b nicht definiert.