Polarkoordinaten und Argument
Das Werteverhalten der komplexen Exponentialfunktion ermöglicht:
Definition (Polarkoordinaten, Argument, Argumentfunktion)
Ist z ∈ ℂ und z = r ei x für r, x ∈ ℝ, r ≥ 0, so heißen (r, x) Polarkoordinaten für z.
Die Zahl x heißt ein Argument für z. Für alle z ∈ ℂ mit z ≠ 0 setzen wir
arg(z) = arg[ 0, 2π [(z) = „das eindeutige x ∈ [ 0, 2π [ mit z = |z| ei x “.
Winkelintervall und Nullpunkt
Anstelle von [ 0, 2π [ wird oft auch ] −π, π ] und arg(z) = arg] −π, π ](z) verwendet. Dem Nullpunkt werden häufig keine Polarkoordinaten zugewiesen.
Satz (Darstellung in Polarkoordinaten)
Jede komplexe Zahl z besitzt Polarkoordinaten (r, x). Dabei ist r = |z|, und für alle z ≠ 0 ist das Argument x modulo 2π eindeutig bestimmt.
Beweis
Für z ≠ 0 gilt z = |z| ei x für das eindeutige x ∈ [ 0, 2π [ mit ei x = z/|z|.
Aus dem Additionstheorem für die Exponentialfunktion folgt:
Korollar (Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten)
Sind (r1, x1) und (r2, x2) Polarkoordinaten von z1 bzw. z2, so sind (r1 · r2, x1 + x2) Polarkoordinaten von z1 · z2.
Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist also gegeben durch die Multiplikation der Längen und die Addition der Argumente. Wir werden gleich zeigen, dass das Argument x in z = r ei x ein Winkel im Bogenmaß ist, sodass den Polarkoordinaten die übliche geometrische Bedeutung zukommt. Die geometrische Multiplikationsregel ist dann rein analytisch begründet.
Sind (r, x) Polarkoordinaten von z, so gilt z = r (cosx, sinx). Die Berechnung von Polarkoordinaten einer komplexen Zahl z mit Hilfe der kartesischen Koordinaten (Re(z), Im(z)) besprechen wir unten bei den Arkusfunktionen.