Sekans und Kosekans
Wir möchten noch zwei weitere, heute weniger bekannte trigonometrische Funktionen einführen.
Definition (Sekans und Kosekans)
Seien wieder A und B die Nullstellenmengen des Kosinus bzw. Sinus.
Dann definieren wir den Sekans sec : ℝ − A → ℝ und den Kosekans csc : ℝ − B → ℝ durch
| sec x = 1cos x | für alle x ∈ ℝ − A, |
| csc x = 1sin x | für alle x ∈ ℝ − B. |
Der Sekans und der Kosekans tauchen in natürlicher Weise in der Geometrie bei der Untersuchung von Dreiecken auf. Wir besprechen dies in den Ergänzungen.
Die Funktionen lassen die Intervalle ] −1, 1 [ als Werte aus:
Beide Funktionen haben die Periode 2π. Zur Bildung von Umkehrfunktionen betrachten wir die Einschränkungen
sec0 = sec↾([ 0, π ] − { π/2 })
csc0 = csc↾([ −π/2, π/2 ] − { 0 } )
Dann ist sec0 eine auf [ 0, π/2 [ und ] π/2, π ] jeweils streng monoton steigende Funktion, die ihren Definitionsbereich bijektiv auf ℝ − ] −1, 1 [ abbildet. Analog ist csc0 streng monoton fallend auf [ −π/2, 0 [ und ] 0, π/2 ], und auch diese Funktion bildet ihren Definitionsbereich bijektiv auf ℝ − ] −1, 1 [ ab. Wir können also definieren:
Definition (Arkussekans und Arkuskosekans)
Wir definieren den Arkussekans arcsec : ℝ − ] −1, 1 [ → ℝ und den Arkuskosekans arccsc : ℝ − ] −1, 1 [ → ℝ durch
arcsec = sec0−1, arccsc = csc0−1.
Die Arkusfunktionen erben wieder das Monotonieverhalten ihrer stetigen Ursprungsfunktionen. Wir erhalten die Bijektionen:
arcsec : ℝ − ] −1, 1 [ → [ 0, π ] − { π/2 },
arccsc : ℝ − ] −1, 1 [ → [ −π/2, π/2 ] − { 0 }.
Weiter gilt
limx → − ∞ arcsec x = limx → ∞ arcsec x = π/2,
limx → − ∞ arccsc x = limx → ∞ arccsc x = 0.