Punktweise Konvergenz

Wir definieren:

Definition (punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge und -reihe)

Sei (f_n)_{n  ∈  ℕ} eine Funktionenfolge auf P, und für alle x  ∈  P sei (f (x_n))_{n  ∈  ℕ} konvergent. Dann heißt die Funktion f : P → ℝ mit

f (x) = lim_n f_n(x) für alle x  ∈  P

der (punktweise) Grenzwert oder Limes oder auch die Grenzfunktion der Folge (f_n)_{n  ∈  ℕ}, und die Folge (f_n)_{n  ∈  ℕ} heißt (punktweise) konvergent gegen f. Wir schreiben

f = lim_{n → ∞} f_n oder f = lim_{n → ∞} f_n (punktweise).

Ist eine Funktionenreihe ∑_n f_n punktweise konvergent (d. h. (∑_k ≤ n f_k)_{n  ∈  ℕ} ist punktweise konvergent), so schreiben wir auch wieder

∑_n f_n = lim_n ∑_k ≤ n f_k.

Schließlich heißt eine Funktionenreihe ∑_n f_n (punktweise) absolut konvergent, falls die Funktionenreihe ∑_n|f_n| punktweise konvergiert.

Ausgeschrieben bedeutet „lim_n f_n = f “:

∀x  ∈  P ∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ |f (x) − f_n(x)| < ε. (punktweise Konvergenzbedingung)

Die natürliche Zahl n₀ hängt hier im Allgemeinen sowohl von ε als auch vom Punkt x ab.

Wir sprechen im Folgenden oft auch einfach von Folgen (f_n)_{n  ∈  ℕ} und Reihen ∑_n f_n. Speziell in Reihen definieren wir die Summanden oft durch Terme, sodass etwa ∑_nxⁿ auf ℝ die Reihe ∑_n f_n mit f_n(x) = xⁿ für alle x  ∈  ℝ ist.

Die Notation ∑_n f_n ist wieder doppeldeutig. Sie bedeutet immer eine Funktionenfolge und im Fall der punktweisen Konvergenz dieser Folge auch die zugehörige Grenzfunktion.

Beispiele

(1)

Für jedes n definieren wir die Stufenfunktion s_n : ℝ → ℝ durch

$s_{n} (x) = { \begin{matrix} 0 & falls x < n, \\ 1 & falls x \geq n. \end{matrix}$

Dann konvergiert die Funktionenfolge (s_n)_{n  ∈  ℕ} punktweise gegen die Nullfunktion auf ℝ. Bezeichnen wir die Nullfunktion mit 0, so gilt also

lim_n s_n = 0.

(2)	Die Potenzfunktionen g_n : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] mit g_n(x) = xⁿ für alle x  ∈  [ 0, 1 ] und alle n  ∈  ℕ konvergieren punktweise gegen die Funktion g : [ 0, 1 ] → ℝ mit $g (x) = { \begin{matrix} 0 & falls x \in [0, 1 [, \\ 1 & falls x = 1. \end{matrix}$

(3)	Die Exponentialreihe ∑_n xⁿ/n! ist eine Funktionenreihe auf ℝ, die (nach Definition der Exponentialfunktion) punktweise gegen exp : ℝ → ℝ konvergiert. Es gilt also exp = ∑_n xⁿ/n!.

(4)	Die geometrische Reihe ∑_n xⁿ auf ] −1, 1 [ konvergiert punktweise gegen f : ] −1, 1 [ → ℝ mit f (x) = 1/(1 − x) für alle x  ∈  ] −1, 1 [.