Lineare Approximation
Wir hatten die Differenzierbarkeit von f in p als Approximierbarkeit durch eine Gerade motiviert. Wir präzisieren nun diese Sichtweise.
Satz (linearer Approximationssatz)
Sei f : P → ℝ eine Funktion, und sei p ∈ P ein Häufungspunkt von P. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) | f ist differenzierbar in p. |
(b) | Es gibt ein a ∈ ℝ und eine Funktion r : P → ℝ mit f (x) = f (p) + a (x − p) + r(x) für alle x ∈ P, limx → p r(x)/(x − p) = 0. |
In diesem Fall gilt dann f ′(p) = a mit a wie in (b).
Beweis
(a) impliziert (b): Wir setzen a = f ′(p) und definieren r : P → ℝ durch
r(x) = f (x) − f (p) − a (x − p) für alle x ∈ P.
Dann sind a ∈ ℝ und r : P → ℝ wie gewünscht, denn es gilt
limx → p r(x)x − p = limx → p f (x) − f (p)x − p − a = f ′(p) − a = 0.
(b) impliziert (a): Ist a ∈ ℝ und r : P → ℝ wie in (b), so gilt
limx → p f (x) − f (p)x − p = limx → p (a + r(x)x − p) = a + 0 = a.
Dies zeigt die Differenzierbarkeit von f in p und den Zusatz.
Der Satz zeigt noch einmal, dass eine in p differenzierbare Funktion dort auch stetig ist. Denn gilt (b), so gilt limx → p r(x) = 0 und damit
limx → p f (x) = limx → p (f (p) + a (x − p) + r(x)) = f (p).
g ist die Tangente an f in (p, f (p)), r = f − g und r* die stetig fortgesetzte Funktion mit
r*(x) = r(x)x − p für alle x ≠ p.
Es gilt r(p) = r*(p) = 0.
Nun ist g eine Gerade durch (p, f (p)) mit einer Steigung a < f ′(p). Wieder ist r = f − g und r* die stetig fortgesetzte Funktion mit
r*(x) = r(x)x − p für alle x ≠ p.
Es gilt r(p) = 0, r*(p) > 0.
Hier ist g eine Gerade durch (p, f (p)) mit einer Steigung a, die minimal größer ist als f ′(p). Erneut ist r = f − g und r* die stetig fortgesetzte Funktion mit
r*(x) = r(x)x − p für alle x ≠ p.
Es gilt r(p) = 0, r*(p) < 0.