Links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit
In Analogie zur links- und rechtsseitigen Stetigkeit können wir auch die Differenzierbarkeit von einer Seite betrachten:
Definition (einseitige Differenzierbarkeit)
Sei f : P → ℝ eine Funktion, und sei p ∈ P ein linksseitiger Häufungspunkt von P (d. h. p ist ein Häufungspunkt von P ∩ ] −∞, p [. Dann heißt f linksseitig differenzierbar im Punkt p, falls der Grenzwert
a = limx ↑ p f (x) − f (p)x − p = limx → p, x < p f (x) − f (p)x − p
existiert. Die Zahl a heißt dann die linksseitige Ableitung oder der linksseitige Differentialquotient von f im Punkt p. Wir setzen
f ′ −(p) = D−f (p) = a.
Analog sind die rechtsseitigen Begriffe für rechtsseitige Häufungspunkte p von P und die Notationen f ′ +(p), D+f (p) erklärt.
Schließlich heißt f einseitig differenzierbar im Punkt p, falls f links- und rechtsseitig differenzierbar bei p ist.
Die h-Formulierung
Im Fall der Existenz gilt
f ′ −(p) = limh ↑ 0 f (p + h) − f (p)h, f ′ +(p) = limh ↓ 0 f (p + h) − f (p)h.
Beispiele
Die Betragsfunktion ist im Nullpunkt einseitig differenzierbar. Es gilt abs′ −(0) = −1, abs′ +(0) = 1. Die dreiwertige Signumsfunktion sgn ist im Nullpunkt weder links- noch rechtsseitig differenzierbar. Die zweiwertige Version sgn+ ist bei 0 rechtsseitig, aber nicht linksseitig differenzierbar.
Es gilt (Übung):
Satz (Charakterisierung der Differenzierbarkeit)
Sei f : P → ℝ, und sei p ∈ P ein Häufungspunkt von P. Dann sind äquivalent:
(a) | f ist differenzierbar bei p. |
(b) | f ist beidseitig differenzierbar bei p mit übereinstimmenden einseitigen Ableitungen. |
In diesem Fall gilt f ′(p) = f ′ −(0) = f ′ +(p).