Die logarithmische Ableitung
Wir betrachten noch eine Version der Ableitung, bei der eine positive Funktion vor ihrer Ableitung mit dem Logarithmus behandelt wird:
Definition (logarithmische Ableitung)
Sei f : ℝ → ] 0, ∞ [ differenzierbar. Dann definieren wir die logarithmische Ableitung L(f) : ℝ → ℝ durch:
L(f)(x) = ddx log(f (x)) für alle x ∈ ℝ.
Es gilt also L(f) = (log ∘ f)′. Die Kettenregel liefert:
Satz (Berechnung der logarithmischen Ableitung)
Sei f : ℝ → ] 0, ∞ [ differenzierbar. Dann gilt
L(f)(x) = f ′(x)f (x) für alle x ∈ ℝ.
Wir diskutieren einige Eigenschaften der logarithmischen Ableitung in den Übungen. Für Liebhaber des spielerischen Umgangs mit Formeln notieren wir hier noch:
Zusammenhang mit der Produktregel
Sind f, g : ℝ → ] 0, ∞ [ differenzierbar, so können wir die logarithmische Ableitung L(f g) des Produkts von f und g auf zwei Weisen berechnen:
L(f g) = log(f g)′ = (f g)′f g,
L(f g) = log(f g)′ = (log(f) + log(g))′ = f ′f + g′g.
Also gilt
(f g)′f g = f ′f + g′g.
Die Multiplikation mit f g liefert nun die Produktregel
(f g)′ = f ′ g + f g′.
Dem Leser wird es vielleicht eine Freude bereiten, durch eine analoge Berechnung von L(f1 · … · fn) eine verallgemeinerte Produktregel für (f1 · … · fn)′ zu finden.