Zur Lipschitz-Stetigkeit differenzierbarer Funktionen

Da die Ableitung f ′ das Steigungsverhalten einer Funktion f widerspiegelt, können Funktionen mit kleinen Ableitungen nicht besonders schnell steigen oder fallen. Der folgende Satz präzisiert diese Anschauung und verallgemeinert dabei unser Ergebnis über konstante Funktionen. Er ist ein schönes Beispiel dafür, wie das lokale Verhalten das globale Verhalten bestimmen kann:

Satz (Schrankensatz, Lipschitz-Stetigkeit bei Beschränktheit der Ableitung)

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ differenzierbar. Weiter sei f ′ beschränkt durch L ≥ 0, d. h. es gelte |f ′(x)| ≤ L für alle x  ∈  I. Dann ist f Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten L.

Beweis

Für alle x < y in I gibt es nach dem Mittelwertsatz ein p  ∈  ] x, y [ mit

f ′(p) = ^{f (y) − f (x)}_{y − x} .

Dann ist aber |f (x) − f (y)| = |f ′(p)| |x − y| ≤ L |x − y|.

Damit erfüllt eine stetig differenzierbare Funktion auf einem kompakten Intervall die stärkste Form der Stetigkeit, die wir betrachtet haben:

Korollar (Differenzierbarkeit und Lipschitz-Stetigkeit)

Sei f : [ a, b ] → ℝ stetig differenzierbar. Dann ist f Lipschitz-stetig. Jede Schranke L für f ′ ist eine Lipschitz-Konstante für f.

Beweis

Ist f ′ stetig, so nimmt f ′ auf [ a, b ] ihr Maximum und ihr Minimum an und ist daher beschränkt. Der Rest folgt aus dem Schrankensatz.

Es gilt folgende Umkehrung für beliebige Definitionsbereiche:

Satz (Beschränktheit der Ableitung bei Lipschitz-Stetigkeit)

Sei f : P → ℝ differenzierbar und Lipschitz-stetig mit einer Lipschitz-Konstanten L. Dann ist f ′ beschränkt durch L.

Beweis

Sei p  ∈  P. Nach Voraussetzung gilt

| ^{f (x) − f (p)}_{x − p} | ≤ L für alle x  ∈  P − { p }.

Dann ist aber |f ′(p)| = | lim_x → p (f (x) − f (p))/(x − p)| ≤ L.