Ausblick: Ableitung Null
Mit Hilfe des Mittelwertsatzes konnten wir einfach zeigen, dass eine auf einem Intervall definierte Funktion mit verschwindender Ableitung konstant ist. Als Kontrast geben wir nun noch einen etwas direkteren Beweis dieses anschaulich klaren, aber nicht leicht zu beweisenden Ergebnisses. Wir zeigen neu mit Hilfe des Bisektionsverfahrens (vgl. 3. 3):
Satz (Ableitung ungleich Null bei unterschiedlichen Randwerten)
Sei f : [ a0, b0 ] → ℝ differenzierbar mit f (a0) ≠ f (b0). Dann gibt es eine Stelle p ∈ [ a0, b0 ] mit f ′(p) ≠ 0.
Beweis
Wir setzen
d = f (b0) − f (a0)b0 − a0.(mittlere Steigung von f)
Wir nehmen d > 0 an. (Der Fall d < 0 ist analog.) Sei (In)n ∈ ℕ die Bisektionsfolge des Startintervalls I0 = [ a0, b0 ] für die Eigenschaft
ℰ(a, b) = „(f (b) − f (a))/(b − a) ≥ d“.
Das Verfahren bricht nicht ab.
Beweis hierzu
Ist cn = (an + bn)/2 der Mittelpunkt von In = [ an, bn ], so gilt
| d | ≤ f (bn) − f (an)bn − an = f (bn) − f (cn)bn − an + f (cn) − f (an)bn − an |
| = 12 (f (bn) − f (cn)bn − cn) + 12 (f (cn) − f (an)cn − an). |
Damit ist einer der beiden Differenzenquotienten größergleich d, da die Summe sonst kleiner als d/2 + d/2 wäre.
Sei nun p = supn an = infn bn, d. h. { p } = ⋂n In. Dann gilt
f ′(p) = limn f (bn) − f (an)bn − an ≥ d > 0.
(Zum hier verwendeten Grenzwert vgl. „Varianten des Differentialquotienten“ im ersten Kapitel dieses Abschnitts.)
Aus dem Satz folgt sofort:
Korollar (Ableitung Null)
Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ differenzierbar mit f ′ = 0. Dann ist f konstant.
Beweis
Andernfalls gibt es a0 < b0 in I mit f (a0) ≠ f (b0). Nach dem Satz existiert also ein p ∈ [ a0, b0 ] mit f ′(p) ≠ 0, Widerspruch.
Der Bisektions-Beweis des obigen Satzes liefert im Fall d > 0 ein effektives Verfahren zur Berechnung einer Stelle p1 mit f ′(p1) ≥ d. Wir halbieren wiederholt [ a0, b0 ] und wählen in jedem Schritt ein Teilintervall mit einem Differenzenquotienten größergleich d. Analog erhalten wir ein p2 mit f ′(p2) ≤ d, indem wir in der Bisektion die Eigenschaft
ℰ(a, b) = „(f (b) − f (a))/(b − a) ≤ d“.
aufrechterhalten. Da der Wertebereich von f ′ ein Intervall ist, erhalten wir ein p mit f ′(p) = d. Damit haben wir erneut den Mittelwertsatz bewiesen (mit Hilfe des Zwischenwertsatzes der Differentialrechnung).