Ausblick: Ableitung Null
Mit Hilfe des Mittelwertsatzes konnten wir einfach zeigen, dass eine auf einem Intervall definierte Funktion mit verschwindender Ableitung konstant ist. Als Kontrast geben wir nun noch einen direkteren Beweis dieses anschaulich klaren, aber nicht leicht zu beweisenden Ergebnisses.
Satz (Ableitung Null)
Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ differenzierbar mit f ′ = 0. Dann ist f konstant.
Beweis
Annahme nicht. Dann gibt es a0 < b0 in I mit f (a0) ≠ f (b0). Wir setzen
d = |f (b0) − f (a0)b0 − a0|
Dann gilt d > 0. Sei I0 = [ a0, b0 ]. Da I ein Intervall ist, gilt I0 ⊆ I. Durch wiederholte Halbierung von I0 definieren wir nun rekursiv geschachtelte Intervalle In = [ an, bn ], sodass für alle n ∈ ℕ gilt:
(a) | In + 1 = [ an, (an + bn)/2 ] oder In + 1 = [ (an + bn)/2, bn ] |
(b) | f (bn) − f (an)bn − an ≥ d |
zur rekursiven Konstruktion:
Sei In konstruiert mit den Eigenschaften (a) und (b). Weiter sei
cn = (an + bn)/2
der Mittelpunkt von In. Dann gilt
bn − cn = cn − an = (bn − an)/2
Durch Anwendung der Dreiecksungleichung erhalten wir:
| d | ≤ |f (bn) − f (an)bn − an| ≤ |f (bn) − f (cn)bn − an| + |f (cn) − f (an)bn − an| |
| = 12 |f (bn) − f (cn)bn − cn| + 12 |f (cn) − f (an)cn − an| |
Damit ist einer der beiden Differenzenquotienten größergleich d (da die Summe sonst kleiner als d/2 + d/2 wäre). Wir setzen In + 1 = [ an, cn ], falls der erste Differenzenquotienten größergleich d ist, und In + 1 = [ cn, bn ] sonst. Dann gelten (a) und (b) für In + 1 nach Konstruktion.
Sei nun p = supn an = infn bn, d. h. { p } = ⋂n In. Dann gilt p ∈ I und
0 = f ′(p) = limn f (bn) − f (an)bn − an ≥ d > 0,
Widerspruch. (Zum Grenzwert vgl. „Varianten des Differentialquotienten“ im ersten Kapitel.)
Ist f : [ a, b ] → ℝ differenzierbar mit f (a) ≠ f (b), so liefert der Beweis ein Verfahren zur approximativen Berechnung einer Stelle p mit f ′(p) ≠ 0. Wir Halbieren wiederholt [ a, b ] und wählen in jedem Schritt ein Teilintervall mit einem Differenzenquotienten größergleich der mittleren Steigung (f (b) − f (a))/(b − a) von f.