Die Sprechweisen „links und rechts von einer Stelle“

Wir führen eine suggestive Sprechweise für das lokale Verhalten einer Funktion ein:

Definition (links und rechts von einer Stelle)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  ℝ. Wir sagen, dass eine Eigenschaft ℰ(f, x) links von p gilt, falls

∃ε > 0 ∀x  ∈  ] p − ε, p [ ∩ P ℰ(f, x).

Analog gilt ℰ(f, x) rechts von p, falls

∃ε > 0 ∀x  ∈  ] p, p + ε [ ∩ P ℰ(f, x).

Mit diesen Sprechweisen sind viele Definitionen und Sätze leichter zu formulieren, da wir kein explizites ε und keine einseitigen Intervalle mehr benötigen. Genauer wäre „lokal links bzw. lokal rechts von p“.

Beispiele

(1)	Es gilt sin(x) < 0 links der 0 und sin(x) > 0 rechts der 0. Wir sagen auch, dass der Sinus links der Null negativ und rechts der Null positiv ist. Weiter gilt zum Beispiel „cos(x) < sin(x) rechts von π/2“.

(2)	Die Vorzeichenfunktion sgn ist links und rechts von 0 konstant.

(3)	Die Hyperbel f : ℝ* → ℝ mit f (x) = 1/x für x ≠ 0 ist links der 0 negativ und rechts der 0 positiv. Im Folgenden ist p meistens ein Element des Definitionsbereichs von f, sodass ℰ links oder rechts der Stelle p gilt.

Ist p das Minimum von P, so gilt trivialerweise ℰ(f, x) links von p. Analoges gilt für das Maximum von p. Es ist oft nützlich, diese „leeren Fälle“ zuzulassen, um unsere Ergebnisse auch in Randpunkten eines Definitionsintervalls einfach formulieren zu können.

Ein erster Einsatz ist:

Definition (Vorzeichenwechsel)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P eine Nullstelle von f derart, dass es ein ε > 0 gibt mit ] p − ε, p + ε [ ⊆ P. Wir sagen, dass f an der Stelle p das Vorzeichen wechselt, falls gilt:

f (x) < 0 links von p, f (x) > 0 rechts von p (Wechsel von − nach +)

oder

f (x) > 0 links von p, f (x) < 0 rechts von p.(Wechsel von + nach −)

Beispielsweise wechseln der Sinus und der Tangens bei 0 das Vorzeichen. Das Gleiche gilt für die Funktion x³. Dagegen wechselt eine Funktion f : [ a, b ] → ℝ in a oder b niemals das Vorzeichen.