Visualisierungen von Taylor-Polynomen

Die folgenden Diagramme zeigen Taylor-Polynome f_n = Tⁿ_pf für einige Funktionen f, Entwicklungspunkte p und Ordnungen n. Die Polynome erfüllen ihre Approximationspflichten in gewissen Intervallen sehr gut, streben aber außerhalb dieser Intervalle ohne Umschweife gegen unendlich. Bemerkenswert ist, dass der Entwicklungspunkt immer der Mittelpunkt dieser Intervalle zu sein scheint. So approximieren zum Beispiel die Taylor-Polynome der Quadratwurzel für p = 1 ihre Funktion in einem um p zentrierten Intervall der Länge 2 recht gut, während sie sich rechts der Stelle 2 von der Wurzelfunktion verabschieden, obwohl dort gute Approximationen denkbar wären. Analoges gilt für den Arkussinus und p = 4/5 und für den rechten Ast der Hyperbel 1/x mit p = 1. Im nächsten Kapitel werden wir dieses Symmetrie-Phänomen erklären können.

f (x) = $\sqrt{x}$

p = 1

f (x) = exp(−x²)

p = 0

f (x) = exp(−x²)

p = 1/2

f (x) = arcsin(x)

p = 4/5

f (x) = sin(x) + ^cos(2x)₃

p = 0

f (x) = ¹_x

p = 1

f (x) = $\sqrt{1 - x^{2}}$

p = 0

f (x) = $\sqrt{1 - x^{2}}$

p = 1/2

f (x) = ^sin(x)_x

p = 0

f (x) = cos(x), p = 0