7. Potenzreihen

Potenzreihen in ℝ sind unendliche Reihen der Form

∑_n a_n (x − p)ⁿ  =  a₀  +  a₁ (x − p)  +  a₂ (x − p)²  +  a₃ (x − p)³  +  …,

mit einer reellen Variablen x, Koeffizienten a_n  ∈  ℝ und einem Entwicklungspunkt p  ∈  ℝ. Wir sind ihnen schon mehrfach begegnet: Die geometrische Reihe und die Reihendarstellungen der Exponentialfunktion, des Kosinus und Sinus sind Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0. Im letzten Kapitel hatten wir Taylor-Reihen definiert und bereits Konvergenz- und Darstellungsfragen aufgeworfen. Nun untersuchen wir Potenzreihen genauer. Wir zeigen, dass jede Potenzreihe in einem Intervall der Form ] p − R, p + R [ eine gliedweise differenzierbare Funktion darstellt, während sie in den Intervallen ] −∞, p − R [ und ] p + R, ∞ [ divergiert. Für den Konvergenzradius R gilt 0 ≤ R ≤ ∞. Ist R endlich, so ist zum Konvergenzverhalten in den beiden Randpunkten p − R und p + R keine allgemeine Aussage möglich. Im Fall der Konvergenz ist die Grenzfunktion in ihren Randpunkten stetig (Abelscher Grenzwertsatz).